Determine o vértice, o eixo e a direção de abertura da parábola dada.
(g) x^{2}+2 x-5 y-19=0

Passo 1

O enunciado pede o vértice, o eixo de simetria e a direção de abertura da parábola dada por
x^{2} + 2x - 5y - 19 = 0.
O conteúdo envolvido é reconhecer que se trata de uma parábola na forma geral Ax^2 + Bx + Cy + D = 0, isolar y, completar o quadrado em x e identificar a forma canônica.

Passo 2

Primeiro, isolamos y. Reescrevendo a equação:
x^{2} + 2x - 19 = 5y
e dividindo ambos os lados por 5, obtemos
y = \frac{1}{5}\bigl(x^{2} + 2x\bigr) - \frac{19}{5}.

Passo 3

Agora completamos o quadrado no termo em x.
Observamos que
x^{2} + 2x = (x+1)^{2} - 1.
Substituindo em y:
y = \frac{1}{5}\bigl((x+1)^{2} - 1\bigr) - \frac{19}{5}
y = \frac{1}{5}(x+1)^{2} - \frac{1}{5} - \frac{19}{5}
y = \frac{1}{5}(x+1)^{2} - 4.

Passo 4

A forma \displaystyle y = \frac{1}{5}(x+1)^{2} - 4 pode também ser escrita como
(x+1)^{2} = 5(y + 4).
Dessa forma canônica, vemos que o vértice (h,k) é (-1,-4). O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja,
x = -1.
Como o coeficiente de (x+1)^{2} é positivo \tfrac{1}{5}>0, a parábola abre para cima.

Resposta

Vértice: (-1,-4)
Eixo de simetria: x=-1
Direção de abertura: para cima

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