Escreva a equação da hipérbole na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(d) 2 x^{2}-3 y^{2}=6

Passo 1

O enunciado dá a cônica
2x^{2}-3y^{2}=6
e pede (1) escrevê-la na forma reduzida de hipérbole e (2) determinar as interseções com os eixos coordenados. Vamos usar conceitos de seção cônica: para obter a forma reduzida dividimos ambos os lados pela constante do lado direito, e para achar interseções fazemos y=0 (eixo x) e x=0 (eixo y).

Passo 2

Dividindo a equação por 6 obtemos
\frac{2x^{2}}{6}-\frac{3y^{2}}{6}=1
que simplifica para
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1.
Esta é a forma reduzida de uma hipérbole centrada na origem, com eixo transverso sobre o eixo x.

Passo 3

Para achar as interseções com os eixos, impomos:
  • Eixo x: y=0.
  • Eixo y: x=0.

Passo 4

Substituindo y=0 em 2x^{2}-3y^{2}=6
2x^{2}=6\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Substituindo x=0
-3y^{2}=6\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=-2,
que não tem solução real.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1.
As interseções com os eixos são
no eixo x: \bigl(\pm\sqrt{3},0\bigr),
e não há interseção com o eixo y.

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