Escreva a equação da hipérbole na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(e) 4 x^{2}-5 y^{2}=20

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
4x^{2}-5y^{2}=20
e pede (1) escrever na forma reduzida \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 e (2) determinar as interseções com os eixos coordenados.

Passo 2

Para obter a forma reduzida, dividimos ambos os lados da equação por 20:
\frac{4x^{2}}{20}-\frac{5y^{2}}{20}=1
Simplificando cada fração:
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1.
Logo, na forma reduzida temos
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1,
onde a^{2}=5 e b^{2}=4.

Passo 3

Para achar as interseções com o eixo x, colocamos y=0 na forma original ou na forma reduzida. Usando
4x^{2}-5\cdot 0^{2}=20
vem
4x^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=5 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{5}.
Portanto, as interseções com o eixo x são os pontos \bigl(\sqrt{5},0\bigr) e \bigl(-\sqrt{5},0\bigr).

Passo 4

Para achar as interseções com o eixo y, colocamos x=0:
4\cdot 0^{2}-5y^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad -5y^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=-4.
Isso não tem solução real, logo não há interseção com o eixo y.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1,
as interseções com o eixo x são \bigl(\pm\sqrt{5},0\bigr) e não há interseções com o eixo y.

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