- Escreva a equação do movimento do objeto, relacionando a velocidade à posição e a posição ao tempo. Por que as equações do movimento são frequentemente expressas como funções do tempo, em vez de simplesmente relacionar posição, velocidade e aceleração?
Passo 1
O que o pedido exige e quais informações eu tenho agora:
- O pedido é genérico: escrever a equação(s) do movimento de um objeto relacionando a velocidade com a posição e a posição com o tempo, e explicar por que as equações de movimento são frequentemente expressas como funções do tempo.
- Não foi dado nenhum valor numérico nem um caso específico; portanto vou tratar o caso unidimensional geral (movimento numa linha) e mostrar as formas mais úteis e comuns: quando a aceleração é conhecida como função do tempo, quando é conhecida como função da posição, e quando depende da velocidade. Também darei as fórmulas do caso de aceleração constante (o caso que costuma cair em prova).
- Variáveis que vou usar (definições claras):
-
= posição do objeto em função do tempo. -
= velocidade instantânea em função do tempo. -
= aceleração instantânea em função do tempo. -
= posição inicial em . -
= velocidade inicial em .
-
Passo 2
Definições fundamentais (o ponto de partida — a matemática básica por trás do movimento)
- Velocidade é taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos:
Expliquei: isso significa que a velocidade é a derivada da posição — a inclinação da curva
versus
em cada instante.
- Aceleração é taxa de variação da velocidade em relação ao tempo:
Expliquei: a aceleração é a segunda derivada da posição; ela mede como a velocidade muda no tempo.
Essas duas expressões já são as equações diferenciais básicas do movimento. Para obter expressões explícitas (por exemplo
em função de
ou
em função de
) precisamos integrar ou usar manipulações adequadas dependendo de como a aceleração é dada.
Passo 3
Relacionando velocidade à posição: usar a regra da cadeia para trocar derivada no tempo por derivada em relação à posição
Se a aceleração for dada como função da posição, isto é
, a forma direta
mistura
e
. Usamos a identidade (regra da cadeia):
Portanto obtemos a equação que relaciona
e
:
Essa é uma equação diferencial em que a variável independente é
e a incógnita é
. Ela é útil porque é separável em forma de integrais simples:
integrando entre a condição inicial
e um ponto genérico
,
A integral do lado esquerdo é
. Assim:
Ou rearranjando:
Explicação adicional: o sinal
aparece porque a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa conforme a direção do movimento; escolha o sinal coerente com a direção física (sinal de
).
Exemplo especial (muito comum em provas): se
é constante,
, então
e
fórmula frequentemente usada quando o tempo não é conhecido ou não é necessário.
Passo 4
Relacionando posição ao tempo quando a aceleração é dada como função do tempo
Se a aceleração é conhecida como função do tempo,
, então integramos diretamente em relação a
.
- Primeiro integramos para achar a velocidade:
Expliquei: a aceleração é a derivada da velocidade; integrar dá a velocidade, e a constante de integração é
.
- Depois integramos a velocidade para achar a posição:
Expliquei: a posição é a integral da velocidade; substituir
obtida na integral dá
.
Exemplo muito comum — aceleração constante
(valor numérico constante):
- Integração dá
Essas três fórmulas juntas (
,
e
) são as equações de movimento que a maioria das provas pede quando há aceleração constante.
Passo 5
Quando a aceleração depende da velocidade: método para obter
e depois
Se tiver
, então a equação é
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, que muitas vezes é separável:
Integrando:
Daí se obtém
. Depois, calcule
por
Exemplo simples (arrasto linear):
com
(desaceleração proporcional à velocidade); então
Expliquei: esse caso aparece quando há resistência viscosa linear; é ótimo para provas porque mostra solução exponencial e integral trivial.
Passo 6
Como obter
quando se conhece
como função de
(voltando ao caso de Passo 3)
Se você obteve
pela fórmula do Passo 3, ainda pode querer
. Use que
, portanto
Integrando:
Isso dá
em função de
. Frequentemente a integral tem de ser invertida para obter
. Nem sempre a integral é elementar; às vezes exige funções especiais, mas o método é sempre esse: primeiro
via
, depois integral de
para achar
.
Passo 7
Por que as equações de movimento são frequentemente expressas como funções do tempo? (explicação didática e intuitiva)
- Tempo é o parâmetro natural do movimento: movimento descreve como uma posição muda ao longo do tempo. Medidas experimentais são feitas registrando posição/velocidade em instantes
. Assim, escrever e responde diretamente: "onde o objeto estará em ". - Condições iniciais são normalmente dadas em um instante (por exemplo
, ); integrar equações diferenciais em relação ao tempo incorpora essas condições de forma simples. - A fórmula
(relacionamento posição-velocidade) foi construída para evitar o tempo quando ele não é necessário (por exemplo, energia/conservação). Mas essa relação não dá quando o tempo de chegada importa — não responde “qual é o tempo para percorrer tal distância?” — para isso é preciso . - Muitas leis físicas (força como função do tempo, aceleração dependente de condições temporais externas) fornecem
diretamente; aí a integração em é a rota natural. - Em resumo: expressa-se em função do tempo porque o tempo é o parâmetro que ordena os acontecimentos e é a variável que se controla/mede; relações sem tempo (entre
e ) são úteis, mas periféricas quando a previsão temporal é necessária.
Passo 8
Resumo prático para prova — receita de resolução
- Identifique se
é função de , de ou de . - Se
: integre para obter , depois . - Se
: use , integre para obter , depois calcule se precisar de ou . - Se
: separe , encontre e depois integre para . - Verifique sempre sinais e condições iniciais; em provas, mostre as integrais e a aplicação das condições iniciais para garantir a resposta correta.
Você consegue! Mesmo sem ter memorizado tudo, seguindo esse roteiro fica bem simples decidir qual técnica usar.
Resposta
Se
Se
Se
Caso importante —
Motivo: as equações são escritas em função do tempo porque o tempo é o parâmetro natural que ordena e mede o movimento; expressões em termos de