- Uma barra fina de comprimento
e massa
está suspensa por um fio longo que passa pelo ponto médio da barra. O valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e o fio vale
. Quando um objeto de forma irregular é pendurado no mesmo fio, o valor do período de oscilação passa a valer
. Determine o momento de inércia
do objeto em relação ao eixo de suspensão. Dados: a constante de torção do fio vale
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
- Uma barra fina de comprimento
e massa está suspensa por um fio que passa pelo ponto médio da barra. - A constante de torção do fio vale
. - O período do oscilador formado pela barra e o fio é
. - Quando um objeto de forma irregular é pendurado no mesmo fio (no mesmo eixo de suspensão), o período passa a ser
.
- Uma barra fina de comprimento
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o momento de inércia
do objeto irregular em relação ao eixo de suspensão.
- Determinar o momento de inércia
Passo 2
Entender a fórmula do movimento torsional (a “aula rápida” que precisamos).
-
Para um fio que exerce um torque restaurador proporcional ao ângulo de rotação, vale a lei de torção:onde
é o torque (momento de força) e é o deslocamento angular (em radianos). Aqui é a constante de torção do fio (unidade: ). -
A segunda lei da dinâmica rotacional diz que o somatório dos torques é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
-
Substituindo o torque restaurador, a equação do movimento fica
-
Essa é a equação de um movimento harmônico simples angular. A solução dá frequência angulare o período do movimento é
-
Explicando variáveis:
-
é o momento de inércia do corpo que está oscilando em relação ao eixo de suspensão. -
é a rigidez à torção do fio. -
é o período (tempo de uma oscilação completa).
-
Passo 3
Calcular o momento de inércia da barra (necessário para extrair
a partir de
).
-
A barra é fina, de comprimento
e massa , suspensa pelo seu ponto médio. O momento de inércia de uma barra fina em relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro vale (fórmula padrão): -
Se quiser ver de forma integral (rápido derivativo): densidade linear
. Tomando eixo ao longo da barra com origem no centro, temos
Passo 4
Usar o período da barra
para determinar
.
-
Aplicando a fórmula do período para a barra:
-
Isolando
: -
Substituindo
(se quiser manter simbólico, ainda deixamos em termos de ):
Passo 5
Determinar
usando o período do objeto
e a
obtida.
-
Para o objeto pendurado, a fórmula do período é
-
Isolando
: -
Agora substituímos
que obtivemos no Passo 4: -
Finalmente, substituindo
:
Passo 6
Checagem rápida e interpretação (motivacional e prática).
- Verificação de unidades:
tem unidade de , e é adimensional. Logo tem unidade correta de momento de inércia. - Interpretação física: se
, então ; se é maior, o objeto tem maior inércia que a barra, e vice-versa. - Dica para prova: o truque do problema é usar a barra conhecida para determinar
indiretamente, depois aplicar a fórmula do período para o objeto desconhecido. Guarda essa ideia: medir a constante do sistema com um corpo conhecido e usar para extrair propriedades de outro corpo.