1. Uma barra fina de comprimento L e massa m está suspensa por um fio longo que passa pelo ponto médio da barra. O valor do período do oscilador harmônico angular formado pela barra e o fio vale T_{b}. Quando um objeto de forma irregular é pendurado no mesmo fio, o valor do período de oscilação passa a valer T_{o}. Determine o momento de inércia I_{O} do objeto em relação ao eixo de suspensão. Dados: a constante de torção do fio vale \kappa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma barra fina de comprimento L e massa m está suspensa por um fio que passa pelo ponto médio da barra.
    • A constante de torção do fio vale \kappa.
    • O período do oscilador formado pela barra e o fio é T_{b}.
    • Quando um objeto de forma irregular é pendurado no mesmo fio (no mesmo eixo de suspensão), o período passa a ser T_{o}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o momento de inércia I_{O} do objeto irregular em relação ao eixo de suspensão.

Passo 2

Entender a fórmula do movimento torsional (a “aula rápida” que precisamos).
  • Para um fio que exerce um torque restaurador proporcional ao ângulo de rotação, vale a lei de torção:
    \tau = -\kappa \theta,
    onde \tau é o torque (momento de força) e \theta é o deslocamento angular (em radianos). Aqui \kappa é a constante de torção do fio (unidade: \text{N}\cdot\text{m}/\text{rad}).
  • A segunda lei da dinâmica rotacional diz que o somatório dos torques é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
    I\,\ddot{\theta} = \sum \tau.
  • Substituindo o torque restaurador, a equação do movimento fica
    I\,\ddot{\theta} = -\kappa \theta.
  • Essa é a equação de um movimento harmônico simples angular. A solução dá frequência angular
    \omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}},
    e o período do movimento é
    T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}.
  • Explicando variáveis:
    • I é o momento de inércia do corpo que está oscilando em relação ao eixo de suspensão.
    • \kappa é a rigidez à torção do fio.
    • T é o período (tempo de uma oscilação completa).

Passo 3

Calcular o momento de inércia da barra (necessário para extrair \kappa a partir de T_b).
  • A barra é fina, de comprimento L e massa m, suspensa pelo seu ponto médio. O momento de inércia de uma barra fina em relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro vale (fórmula padrão):
    I_{\text{barra}} = \frac{1}{12}\,mL^{2}.
  • Se quiser ver de forma integral (rápido derivativo): densidade linear \lambda = \dfrac{m}{L}. Tomando eixo x ao longo da barra com origem no centro, temos
    I_{\text{barra}} = \int_{-L/2}^{L/2} x^{2}\,\lambda\,dx = \lambda \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-L/2}^{L/2} = \lambda\left(\frac{(L/2)^{3}-(-L/2)^{3}}{3}\right) = \frac{1}{12}mL^{2}.

Passo 4

Usar o período da barra T_{b} para determinar \kappa.
  • Aplicando a fórmula do período para a barra:
    T_{b} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{\text{barra}}}{\kappa}}.
  • Isolando \kappa:
    \kappa = \frac{4\pi^{2} I_{\text{barra}}}{T_{b}^{2}}.
  • Substituindo I_{\text{barra}}=\dfrac{1}{12}mL^{2} (se quiser manter simbólico, ainda deixamos em termos de I_{\text{barra}}):
    \kappa = \frac{4\pi^{2}}{T_{b}^{2}}\cdot\frac{1}{12}mL^{2}.

Passo 5

Determinar I_{O} usando o período do objeto T_{o} e a \kappa obtida.
  • Para o objeto pendurado, a fórmula do período é
    T_{o} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{O}}{\kappa}}.
  • Isolando I_{O}:
    I_{O} = \frac{\kappa T_{o}^{2}}{4\pi^{2}}.
  • Agora substituímos \kappa que obtivemos no Passo 4:
    I_{O} = \frac{\left(\dfrac{4\pi^{2} I_{\text{barra}}}{T_{b}^{2}}\right)T_{o}^{2}}{4\pi^{2}} = I_{\text{barra}}\cdot\frac{T_{o}^{2}}{T_{b}^{2}}.
  • Finalmente, substituindo I_{\text{barra}}=\dfrac{1}{12}mL^{2}:
    I_{O} = \frac{1}{12}mL^{2}\cdot\frac{T_{o}^{2}}{T_{b}^{2}}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação (motivacional e prática).
  • Verificação de unidades: mL^{2} tem unidade de \text{kg}\cdot\text{m}^{2}, e \dfrac{T_{o}^{2}}{T_{b}^{2}} é adimensional. Logo I_{O} tem unidade correta de momento de inércia.
  • Interpretação física: se T_{o}=T_{b}, então I_{O}=I_{\text{barra}}; se T_{o} é maior, o objeto tem maior inércia que a barra, e vice-versa.
  • Dica para prova: o truque do problema é usar a barra conhecida para determinar \kappa indiretamente, depois aplicar a fórmula do período para o objeto desconhecido. Guarda essa ideia: medir a constante do sistema com um corpo conhecido e usar para extrair propriedades de outro corpo.

Resposta

I_{O}=\frac{1}{12}\,mL^{2}\,\frac{T_{o}^{2}}{T_{b}^{2}}

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