Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados
as assíntotas 
 , e um ponto da hipérbole 
 .
as assíntotas
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício sobre hipérbole. A questão pede para encontrar a equação reduzida da hipérbole que tem as assíntotas 
  e passa pelo ponto 
 . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica sobre hipérboles e suas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que as assíntotas de uma hipérbole nos indicam as retas que a hipérbole se aproxima quando 
  ou 
  tendem ao infinito. Para hipérboles centradas na origem e com assíntotas 
 , a equação geral pode ser escrita de duas formas:
- 
Hipérbole horizontal:As assíntotas são
.  - 
Hipérbole vertical:As assíntotas são
.  
Nesse caso, como as assíntotas são 
 , temos 
  ou 
 , dependendo do tipo da hipérbole.
Passo 3
Vamos determinar qual dos dois tipos de hipérbole estamos lidando. Como as assíntotas têm coeficiente 
 , podemos considerar que 
 . Assim, para simplificar, vamos usar a forma da hipérbole vertical:
Podemos simplificar ainda mais, já que 
 :
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto dado 
  que pertence à hipérbole para encontrar o valor de 
 . Substituindo 
  e 
  na equação:
Simplificando os cálculos:
Passo 5
Resolvendo para 
 :
Portanto, substituindo de volta na equação da hipérbole:
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é: