Determine uma equação e esboce o gráfico da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
  vértices 
  e 
  e excentricidade 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação e esboçar o gráfico de uma hipérbole que tem dois vértices em 
  e 
 , e uma excentricidade igual a 2. Para isso, vamos usar as fórmulas da hipérbole e entender o que cada informação nos diz sobre ela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois vértices. Então, vamos calcular a média das coordenadas de 
  e 
 .
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os vértices. Essa distância é igual a 
 , onde 
  é a distância do centro até cada vértice.
Passo 4
Sabemos que a excentricidade 
  é igual a 2. A excentricidade da hipérbole relaciona-se com 
  e 
  pela fórmula 
 . Vamos encontrar 
 :
Passo 5
Com 
  e 
  em mãos, podemos encontrar 
  usando a relação 
 :
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação da hipérbole. Como os vértices estão alinhados verticalmente (mesma coordenada 
 ), a hipérbole abre para cima e para baixo. A equação geral nesse caso é:
Substituindo 
 , 
 , 
 , e 
 :
Passo 7
Para esboçar o gráfico, a gente coloca o centro em 
 , marca os vértices em 
  e 
 . Como 
  e 
 , desenhamos as assíntotas que passam pelo centro com inclinações 
 . A hipérbole irá abrir para cima e para baixo, seguindo essas direções.
Resposta
A equação da hipérbole é:
O gráfico é uma hipérbole com centro em 
 , vértices em 
  e 
 , abrindo verticalmente, e assíntotas com inclinação 
 .