Considere a hipérbole de equação
 
Determine
a) As coordenadas de seus vértices 
  e 
 .
b) As coordenadas de seus focos 
  e 
 .
c) As equações de suas assíntotas 
  e 
 .
a) As coordenadas de seus vértices
b) As coordenadas de seus focos
c) As equações de suas assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente tem a equação 
 . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices, dos focos e as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar parâmetros importantes da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole agrupando os termos de 
  e de 
 :
Aqui, estamos separando os termos de 
  e de 
  para facilitar o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 
  e de 
 . Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão mais fácil de analisar.
Para 
 :
Para 
 :
Primeiro, vamos tirar o fator comum de  nos termos de 
 :
Primeiro, vamos tirar o fator comum de
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Vamos simplificar:
Para facilitar, dividimos todos os termos por 
 :
Passo 5
Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
- Centro 
 - 
então  - 
então  
Passo 6
Como a hipérbole está na forma 
 , ela abre verticalmente. Os vértices estão a uma distância 
  do centro ao longo do eixo vertical.
Então, os vértices são:
Passo 7
Para encontrar os focos, precisamos calcular 
 , onde 
 .
Os focos também estão a uma distância 
  do centro ao longo do eixo vertical:
Passo 8
As assíntotas de uma hipérbole que abre verticalmente têm equações da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
a) Vértices: 
  e 
b) Focos:  e 
c) Assíntotas:  e 
b) Focos:
c) Assíntotas: