Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
$2 x-y+3 z-2=0$ e $-4 x+2 y-6 z=0$ ;

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos em

\mathbb{R}^3

P_1:\;2x - y + 3z - 2 = 0

P_2:\;-4x + 2y - 6z = 0

e pede para verificar se eles se cortam segundo uma reta. Vamos usar o fato de que a interseção em reta ocorre se, e somente se, os vetores normais dos planos não forem paralelos.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano:

\mathbf{n}_1 = (2,\,-1,\,3), \quad \mathbf{n}_2 = (-4,\,2,\,-6).

Note que

\mathbf{n}_2 = -2\,\mathbf{n}_1

, ou seja, são paralelos.

Passo 3

Quando dois planos têm normais paralelos, eles ou são coincidentes (o mesmo plano) ou são paralelos distintos (sem interseção). Para decidir qual caso vale, comparamos as equações:
multiplicando

P_1

por

-2

obtemos

-4x + 2y - 6z + 4 = 0.

Já

P_2

-4x + 2y - 6z + 0 = 0.

Como os termos constantes (

+4

versus

0

) não coincidem, os planos não são o mesmo, mas apenas paralelos distintos.

Passo 4

Logo,

P_1

P_2

não têm pontos em comum; portanto não se cortam segundo uma reta.

Resposta

Os planos são paralelos distintos e não se interceptam em reta.

Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? 2 x-y+3 z-2=0 e -4 x+2 y-6 z=0;