Escreva a equação de Schrödinger para o átomo de He e explique cada termo na equação. Considere que o seu referencial está localizado sobre o núcleo.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedir: escrever a equação de Schrödinger para o átomo de hélio e explicar cada termo.
  • Condição importante dada: o referencial está localizado sobre o núcleo (ou seja, o núcleo é tomado como fixo na origem).
  • Assunções implícitas que vou usar (comunicação direta, não estou a resolver algo diferente):
    • tratamento não-relativístico;
    • equação estacionária (tempo-independente) para os elétrons;
    • desprezar interações externas e efeitos de spin-relativísticos (spin será mencionado depois como condição de simetria);
    • massa do núcleo considerada infinita (ou muito grande), portanto não incluo operador de cinética do núcleo: isso é a aproximação de Born–Oppenheimer com núcleo fixo.

Passo 2

Definições de coordenadas e da função de onda:
  • Denoto as posições dos dois elétrons por \mathbf r_1 e \mathbf r_2. Essas são vetores tridimensionais no espaço.
  • Distâncias introduzidas:
    • r_1 = |\mathbf r_1| distância do elétron 1 ao núcleo (origem).
    • r_2 = |\mathbf r_2| distância do elétron 2 ao núcleo.
    • r_{12} = |\mathbf r_1 - \mathbf r_2| distância entre os dois elétrons.
  • A função de onda espacial (eletrônica) é \Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2). O estado físico completo inclui também a parte de spin, que vou mencionar depois.

Passo 3

Forma geral da equação que vamos escrever:
  • A equação de Schrödinger estacionária vale
\hat H\,\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=E\,\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2),
onde \hat H é o hamiltoniano total dos dois elétrons (no referencial do núcleo) e E é a energia total eletrônica.

Passo 4

Termos de energia cinética (explicação didática):
  • Para uma partícula (elétron) não-relativística a energia cinética é representada pelo operador
\hat T = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida, m_e é a massa do elétron e \nabla^2 é o laplaciano espacial (soma das segundas derivadas espaciais).
  • Para dois elétrons temos dois operadores de cinética, um atuando nas coordenadas de cada elétron:
\hat T_1 = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_1^2,\qquad \hat T_2 = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_2^2,
onde \nabla_1^2 diferencia em relação a \mathbf r_1 e \nabla_2^2 em relação a \mathbf r_2.

Passo 5

Termos de potencial elétrico elétron–núcleo (explicação didática):
  • A interação coulombiana entre um elétron (carga -e) e um núcleo de carga +Ze é atrativa e vale em SI:
V_{\text{e-n}}(r) = -\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},
onde Z é o número atômico (para hélio Z=2), e é a carga elementar e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Para dois elétrons há duas contribuições:
V_{1\text{n}} = -\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1},\qquad V_{2\text{n}} = -\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2}.
  • O sinal negativo indica que a interação é atrativa (energia potencial menor quando o elétron está próximo do núcleo).

Passo 6

Termo de repulsão elétron–elétron (explicação didática):
  • Dois elétrons (ambos de carga -e) se repelem, e a energia potencial coulombiana entre eles é
V_{\text{ee}}(r_{12}) = +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}.
  • Esse termo depende da coordenada relativa \mathbf r_1-\mathbf r_2 e acopla as duas partículas: é essa dependência que impede uma solução analítica simples do problema.

Passo 7

Montagem do hamiltoniano completo (forma em unidades SI):
  • Somando os termos anteriores o hamiltoniano eletrônico (núcleo fixo na origem) é
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_1^2 -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_2^2 -\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1}-\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}.
  • Para o átomo de hélio substitui-se Z=2 nas parcelas de atração núcleo–elétron.

Passo 8

Versão em unidades atômicas (muito usada, explica por que é útil):
  • Em unidades atômicas (au) toma-se \hbar=1, m_e=1, e^2/(4\pi\varepsilon_0)=1. Isso simplifica enormemente a escrita:
\hat H = -\tfrac{1}{2}\nabla_1^2 -\tfrac{1}{2}\nabla_2^2 -\frac{Z}{r_1} -\frac{Z}{r_2} +\frac{1}{r_{12}}.
  • Para hélio, Z=2, logo
\hat H = -\tfrac{1}{2}\nabla_1^2 -\tfrac{1}{2}\nabla_2^2 -\frac{2}{r_1} -\frac{2}{r_2} +\frac{1}{r_{12}}.
  • Usar unidades atômicas facilita cálculos e compreensão de ordens de grandeza.

Passo 9

Condições sobre \Psi e papel do spin (didática para prova):
  • A função de onda total (espaço × spin) para elétrons deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons (Princípio de Pauli). Ou seja, trocando (\mathbf r_1,s_1)\leftrightarrow(\mathbf r_2,s_2) a função total muda de sinal.
  • Consequência prática:
    • Se a parte de spin for o estado singlete (antissimétrica), a parte espacial deve ser simétrica.
    • Se o spin for triplete (simétrica), a parte espacial deve ser antissimétrica.
  • Condições físicas da \Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2):
    • Normalizável (integral do módulo quadrado finita).
    • Finita e contínua (com exceções controladas de derivadas nas singularidades do potencial).
    • Deve satisfazer condições de “cusp” de Kato na região r_i\to 0 e r_{12}\to0: derivadas têm descontinuidades conhecidas que garantem compensar o potencial singular coulombiano.

Passo 10

Por que não existe solução analítica simples e como resolver na prática (roteiro curto de métodos):
  • O termo \dfrac{1}{r_{12}} acopla as coordenadas dos dois elétrons: isso impede a separação das variáveis e, portanto, impede solução analítica exata como no hidrogênio.
  • Métodos usados em provas/curso:
    • Aproximação de partícula independente (produto de 1s hidrogenioides com carga efetiva): método variacional simples para estimar energia de base.
    • Método de Hartree e Hartree–Fock: constroem orbitais auto-consistentes e usam determinantes de Slater para impor antissimetria.
    • Métodos correlacionais (CI, métodos variacionais com funções de Hylleraas) incluem dependência explícita em r_{12} e melhoram a energia.
  • Dica prática para prova: saber escrever corretamente o hamiltoniano, entender a origem de cada termo, e reconhecer por que r_{12} complica tudo. Se pedirem calcular energia aproximada, use um ensaio variacional simples (por exemplo, duas funções 1s com carga efetiva).

Passo 11

Exemplo numérico (apenas para intuição):
  • Em unidades atômicas a energia de base exata não-relativística do hélio é aproximadamente -2{,}903 hartree (valor obtido por métodos numéricos sofisticados). Só para ter uma referência do resultado que se busca com aproximações.

Passo 12

Resumo final curto e incentivo:
  • Portanto a equação está pronta e os termos explicados: cinética de cada elétron, atração elétron–núcleo (com Z=2) e repulsão elétron–elétron. Sei que parece muita coisa, mas para a prova concentre-se em memorizar o hamiltoniano, o significado físico de cada parcela e a exigência de antissimetria por Pauli. Você consegue — respira, revisa os termos e pratica escrever a equação algumas vezes.

Resposta

\hat H\,\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=E\,\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2),
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_1^2 -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla_2^2 -\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1}-\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}},
com Z=2 para o átomo de hélio.
Em unidades atômicas,
\hat H = -\tfrac{1}{2}\nabla_1^2 -\tfrac{1}{2}\nabla_2^2 -\frac{2}{r_1} -\frac{2}{r_2} +\frac{1}{r_{12}}.

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