Escreva a equação de Schrödinger para o átomo de He e explique cada termo na equação. Considere que o seu referencial está localizado sobre o núcleo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedir: escrever a equação de Schrödinger para o átomo de hélio e explicar cada termo.
- Condição importante dada: o referencial está localizado sobre o núcleo (ou seja, o núcleo é tomado como fixo na origem).
- Assunções implícitas que vou usar (comunicação direta, não estou a resolver algo diferente):
- tratamento não-relativístico;
- equação estacionária (tempo-independente) para os elétrons;
- desprezar interações externas e efeitos de spin-relativísticos (spin será mencionado depois como condição de simetria);
- massa do núcleo considerada infinita (ou muito grande), portanto não incluo operador de cinética do núcleo: isso é a aproximação de Born–Oppenheimer com núcleo fixo.
Passo 2
Definições de coordenadas e da função de onda:
- Denoto as posições dos dois elétrons por
e . Essas são vetores tridimensionais no espaço. - Distâncias introduzidas:
-
distância do elétron 1 ao núcleo (origem). -
distância do elétron 2 ao núcleo. -
distância entre os dois elétrons.
-
- A função de onda espacial (eletrônica) é
. O estado físico completo inclui também a parte de spin, que vou mencionar depois.
Passo 3
Forma geral da equação que vamos escrever:
- A equação de Schrödinger estacionária vale
onde
é o hamiltoniano total dos dois elétrons (no referencial do núcleo) e
é a energia total eletrônica.
Passo 4
Termos de energia cinética (explicação didática):
- Para uma partícula (elétron) não-relativística a energia cinética é representada pelo operador
onde
é a constante de Planck reduzida,
é a massa do elétron e
é o laplaciano espacial (soma das segundas derivadas espaciais).
- Para dois elétrons temos dois operadores de cinética, um atuando nas coordenadas de cada elétron:
onde
diferencia em relação a
e
em relação a
.
Passo 5
Termos de potencial elétrico elétron–núcleo (explicação didática):
- A interação coulombiana entre um elétron (carga
) e um núcleo de carga é atrativa e vale em SI:
onde
é o número atômico (para hélio
),
é a carga elementar e
é a permissividade do vácuo.
- Para dois elétrons há duas contribuições:
- O sinal negativo indica que a interação é atrativa (energia potencial menor quando o elétron está próximo do núcleo).
Passo 6
Termo de repulsão elétron–elétron (explicação didática):
- Dois elétrons (ambos de carga
) se repelem, e a energia potencial coulombiana entre eles é
- Esse termo depende da coordenada relativa
e acopla as duas partículas: é essa dependência que impede uma solução analítica simples do problema.
Passo 7
Montagem do hamiltoniano completo (forma em unidades SI):
- Somando os termos anteriores o hamiltoniano eletrônico (núcleo fixo na origem) é
- Para o átomo de hélio substitui-se
nas parcelas de atração núcleo–elétron.
Passo 8
Versão em unidades atômicas (muito usada, explica por que é útil):
- Em unidades atômicas (au) toma-se
, , . Isso simplifica enormemente a escrita:
- Para hélio,
, logo
- Usar unidades atômicas facilita cálculos e compreensão de ordens de grandeza.
Passo 9
Condições sobre
e papel do spin (didática para prova):
- A função de onda total (espaço × spin) para elétrons deve ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons (Princípio de Pauli). Ou seja, trocando
a função total muda de sinal. - Consequência prática:
- Se a parte de spin for o estado singlete (antissimétrica), a parte espacial deve ser simétrica.
- Se o spin for triplete (simétrica), a parte espacial deve ser antissimétrica.
- Condições físicas da
: - Normalizável (integral do módulo quadrado finita).
- Finita e contínua (com exceções controladas de derivadas nas singularidades do potencial).
- Deve satisfazer condições de “cusp” de Kato na região
e : derivadas têm descontinuidades conhecidas que garantem compensar o potencial singular coulombiano.
Passo 10
Por que não existe solução analítica simples e como resolver na prática (roteiro curto de métodos):
- O termo
acopla as coordenadas dos dois elétrons: isso impede a separação das variáveis e, portanto, impede solução analítica exata como no hidrogênio. - Métodos usados em provas/curso:
- Aproximação de partícula independente (produto de 1s hidrogenioides com carga efetiva): método variacional simples para estimar energia de base.
- Método de Hartree e Hartree–Fock: constroem orbitais auto-consistentes e usam determinantes de Slater para impor antissimetria.
- Métodos correlacionais (CI, métodos variacionais com funções de Hylleraas) incluem dependência explícita em
e melhoram a energia.
- Dica prática para prova: saber escrever corretamente o hamiltoniano, entender a origem de cada termo, e reconhecer por que
complica tudo. Se pedirem calcular energia aproximada, use um ensaio variacional simples (por exemplo, duas funções 1s com carga efetiva).
Passo 11
Exemplo numérico (apenas para intuição):
- Em unidades atômicas a energia de base exata não-relativística do hélio é aproximadamente
hartree (valor obtido por métodos numéricos sofisticados). Só para ter uma referência do resultado que se busca com aproximações.
Passo 12
Resumo final curto e incentivo:
- Portanto a equação está pronta e os termos explicados: cinética de cada elétron, atração elétron–núcleo (com
) e repulsão elétron–elétron. Sei que parece muita coisa, mas para a prova concentre-se em memorizar o hamiltoniano, o significado físico de cada parcela e a exigência de antissimetria por Pauli. Você consegue — respira, revisa os termos e pratica escrever a equação algumas vezes.
Resposta
com
para o átomo de hélio.
Em unidades atômicas,