Escreva a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas, mostrando como chegou na expressão para o operador Laplaciano em tal sistema de coordenadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão.
- Pedido: escrever a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas e mostrar como se obtém a expressão do operador Laplaciano nesse sistema.
- Informação implícita: coordenadas esféricas usuais
e a forma geral da equação de Schrödinger para uma partícula de massa no potencial . - Objetivo concreto desta resolução: (i) relacionar
a ; (ii) obter o Laplaciano em coordenadas esféricas aplicando ; (iii) substituir esse na equação de Schrödinger (tempo-dependente e tempo-independente).
Passo 2
Definições de coordenadas e significado das variáveis (fundamental para não se perder).
- Relações entre coordenadas cartesianas e esféricas:
- Significado dos símbolos:
-
é a distância ao ponto de origem. -
é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo . -
é o ângulo azimutal no plano .
-
- Elemento de volume em esféricas (importante para divergente/produto escalar):
Expliquei isto porque o fator
aparece naturalmente nas fórmulas de divergente e Laplaciano.
Passo 3
Introdução à ideia de escala (fatores de escala) e formas de derivar o gradiente em coordenadas ortogonais.
- Em coordenadas ortogonais
com fatores de escala vale:
onde
são os versores das direções coordenadas.
- Para divergente de um campo vetorial
vale:
Essas fórmulas reduzem muito o esforço: em vez de aplicar a regra da cadeia longa, usamos os fatores de escala.
Passo 4
Determinar os fatores de escala
para coordenadas esféricas.
- A partir das variações infinitesimais:
- movimentando
mantendo fixos: → . - movimentando
mantendo fixos: → . - movimentando
mantendo fixos: → .
- movimentando
- Logo:
- Produto dos fatores (jacobiano):
que coincide com o fator do elemento de volume.
Passo 5
Escrever o gradiente em coordenadas esféricas usando os fatores de escala.
- Pela fórmula geral do gradiente em coordenadas ortogonais:
- Aqui:
são os versores locais (unitários) que dependem de , mas para o cálculo do Laplaciano usaremos a forma do divergente que trata os termos adequadamente.
Passo 6
Aplicar a fórmula do divergente com
para obter o Laplaciano
.
- Começamos com a expressão de divergente para coordenadas ortogonais e substituímos
. - Componentes de
(na base coordenada) são:
- Agora a fórmula do divergente:
- Substituindo
e simplificando termo a termo: - Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
pois não depende de . - Colocando tudo dentro do fator
:
- Agora simplificamos tirando fatores
onde cabem (lembre que não depende de nem ): - O primeiro termo dá
porque é constante em derivação por . - O segundo termo dá
e isso resulta em multiplicando a derivada; reorganizando chegamos à forma padrão abaixo. - O terceiro termo simplifica para
; como fica multiplicado por e depois por , ao recolocar em termos homogêneos de obtemos a forma final mostrada a seguir.
- O primeiro termo dá
- Resultado padrão, já bastante simplificado e de uso prático:
Expliquei os passos porque cada termo vem da divergência do componente correspondente do gradiente e dos fatores
.
Passo 7
Interpretação física e lembretes práticos para a prova (como usar essa fórmula sem se perder).
- Observações úteis:
- O termo radial é
: se depende só de (função radial), os termos angulares desaparecem e fica só esse termo — isso é muito usado em problemas centrais (ex.: átomo de Hidrogênio). - A parte angular (os dois últimos termos juntos) é o operador laplaciano angular frequentemente denotado por
em contexto quântico; em forma pura:
que age só sobre as variáveis angulares . - O termo radial é
Passo 8
Escrever a equação de Schrödinger (tempo-dependente) em coordenadas esféricas usando o Laplaciano obtido.
- Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa
no potencial :
- Substituindo explicitamente
em esféricas temos:
- Aqui
. Expliquei a substituição para que na prova você copie direto essa forma quando trabalhar com problemas em coordenadas esféricas.
Passo 9
Forma tempo-independente (autovalores) — útil para muitos problemas de física quântica.
- Se
não depende de e procuramos estados estacionários , obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo:
- Esta é a forma que se usa para separar variáveis quando
é centrado (isto é, ): geralmente assume-se e separa-se radial e angular. A parte angular leva aos harmônicos esféricos .
Passo 10
Exemplo prático curto (ajuda a fixar): função radial pura.
- Se
depende só de , os termos em e desaparecem e
- A equação radial correspondente (tempo-independente) fica:
que frequentemente se transforma definindo
para simplificar o termo derivativo (isso vira uma equação tipo 1D para
).