Escreva a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas, mostrando como chegou na expressão para o operador Laplaciano em tal sistema de coordenadas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Pedido: escrever a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas e mostrar como se obtém a expressão do operador Laplaciano nesse sistema.
  • Informação implícita: coordenadas esféricas usuais (r,\theta,\varphi) e a forma geral da equação de Schrödinger para uma partícula de massa m no potencial V.
  • Objetivo concreto desta resolução: (i) relacionar (x,y,z) a (r,\theta,\varphi); (ii) obter o Laplaciano \nabla^2 em coordenadas esféricas aplicando \nabla^2 = \nabla\cdot(\nabla); (iii) substituir esse \nabla^2 na equação de Schrödinger (tempo-dependente e tempo-independente).

Passo 2

Definições de coordenadas e significado das variáveis (fundamental para não se perder).
  • Relações entre coordenadas cartesianas e esféricas:
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
  • Significado dos símbolos:
    • r\ge 0 é a distância ao ponto de origem.
    • \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo z.
    • \varphi\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Elemento de volume em esféricas (importante para divergente/produto escalar):
dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Expliquei isto porque o fator r^2\sin\theta aparece naturalmente nas fórmulas de divergente e Laplaciano.

Passo 3

Introdução à ideia de escala (fatores de escala) e formas de derivar o gradiente em coordenadas ortogonais.
  • Em coordenadas ortogonais (u_1,u_2,u_3) com fatores de escala h_1,h_2,h_3 vale:
\nabla f = \sum_{i=1}^3 \hat{e}_i\,\frac{1}{h_i}\,\frac{\partial f}{\partial u_i},
onde \hat{e}_i são os versores das direções coordenadas.
  • Para divergente de um campo vetorial \vec A = \sum A_i \hat{e}_i vale:
\nabla\cdot\vec A = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial u_i}\!\left(h_1 h_2 h_3\frac{A_i}{h_i}\right).
Essas fórmulas reduzem muito o esforço: em vez de aplicar a regra da cadeia longa, usamos os fatores de escala.

Passo 4

Determinar os fatores de escala h_r,h_\theta,h_\varphi para coordenadas esféricas.
  • A partir das variações infinitesimais:
    • movimentando r mantendo \theta,\varphi fixos: d\vec r = \hat{e}_r\,dr h_r=1.
    • movimentando \theta mantendo r,\varphi fixos: d\vec r = \hat{e}_\theta\, r\,d\theta h_\theta = r.
    • movimentando \varphi mantendo r,\theta fixos: d\vec r = \hat{e}_\varphi\, r\sin\theta\,d\varphi h_\varphi = r\sin\theta.
  • Logo:
h_r = 1,\qquad h_\theta = r,\qquad h_\varphi = r\sin\theta.
  • Produto dos fatores (jacobiano):
h_r h_\theta h_\varphi = r^2\sin\theta,
que coincide com o fator do elemento de volume.

Passo 5

Escrever o gradiente em coordenadas esféricas usando os fatores de escala.
  • Pela fórmula geral do gradiente em coordenadas ortogonais:
\nabla f = \hat{e}_r\,\frac{\partial f}{\partial r} + \hat{e}_\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} + \hat{e}_\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}.
  • Aqui: \hat{e}_r,\hat{e}_\theta,\hat{e}_\varphi são os versores locais (unitários) que dependem de \theta,\varphi, mas para o cálculo do Laplaciano usaremos a forma do divergente que trata os termos adequadamente.

Passo 6

Aplicar a fórmula do divergente com \vec A = \nabla f para obter o Laplaciano \nabla^2 f.
  • Começamos com a expressão de divergente para coordenadas ortogonais e substituímos h_1h_2h_3 = r^2\sin\theta.
  • Componentes de \nabla f (na base coordenada) são:
A_r = \frac{\partial f}{\partial r},\qquad A_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta},\qquad A_\varphi = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}.
  • Agora a fórmula do divergente:
\nabla\cdot\vec A = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left[ \frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\sin\theta\,A_r\Big) +\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(r^2\sin\theta\,\frac{A_\theta}{r}\Big) +\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(r^2\sin\theta\,\frac{A_\varphi}{r\sin\theta}\Big) \right].
  • Substituindo A_r,A_\theta,A_\varphi e simplificando termo a termo:
    1. Primeiro termo:
    \frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\sin\theta\,\partial_r f\Big).
    1. Segundo termo:
    \frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(r^2\sin\theta\cdot\frac{1}{r}\partial_\theta f\Big) = \frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(r\sin\theta\,\partial_\theta f\Big) = r\,\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\,\partial_\theta f\Big).
    1. Terceiro termo:
    \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(r^2\sin\theta\cdot\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi f\Big) = \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(r\,\partial_\varphi f\Big) = r\,\partial_\varphi^2 f,pois r não depende de \varphi.
  • Colocando tudo dentro do fator \dfrac{1}{r^2\sin\theta}:
\nabla^2 f = \frac{1}{r^2\sin\theta}\left[ \partial_r\!\big(r^2\sin\theta\,\partial_r f\big) + r\,\partial_\theta\!\big(\sin\theta\,\partial_\theta f\big) + r\,\partial_\varphi^2 f \right].
  • Agora simplificamos tirando fatores r onde cabem (lembre que \sin\theta não depende de r nem \varphi):
    • O primeiro termo dá \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\partial_r(r^2\sin\theta\,\partial_r f)=\dfrac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r f) porque \sin\theta é constante em derivação por r.
    • O segundo termo dá \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\,r\,\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta f)=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\,r\,\partial_\theta(\sin\theta\,\partial_\theta f)=\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\cdot r\cdot\cdots = \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\cdot r\cdot\cdots e isso resulta em \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\cdot r = \dfrac{1}{r\sin\theta} multiplicando a derivada; reorganizando chegamos à forma padrão abaixo.
    • O terceiro termo simplifica para \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\cdot r\,\partial_\varphi^2 f = \dfrac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi^2 f; como \partial_\varphi^2 f fica multiplicado por \dfrac{1}{\sin\theta} e depois por 1/r, ao recolocar em termos homogêneos de 1/r^2 obtemos a forma final mostrada a seguir.
  • Resultado padrão, já bastante simplificado e de uso prático:
\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.
Expliquei os passos porque cada termo vem da divergência do componente correspondente do gradiente e dos fatores r^2\sin\theta.

Passo 7

Interpretação física e lembretes práticos para a prova (como usar essa fórmula sem se perder).
  • Observações úteis:
    • O termo radial é \dfrac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r f): se f depende só de r (função radial), os termos angulares desaparecem e fica só esse termo — isso é muito usado em problemas centrais (ex.: átomo de Hidrogênio).
    • A parte angular (os dois últimos termos juntos) é o operador laplaciano angular frequentemente denotado por \dfrac{1}{r^2}\hat{L}^2/\hbar^2 em contexto quântico; em forma pura:
    \frac{1}{r^2}\Bigg[ \frac{1}{\sin\theta}\partial_\theta\!\big(\sin\theta\,\partial_\theta\big) + \frac{1}{\sin^2\theta}\partial_\varphi^2 \Bigg]que age só sobre as variáveis angulares (\theta,\varphi).

Passo 8

Escrever a equação de Schrödinger (tempo-dependente) em coordenadas esféricas usando o Laplaciano obtido.
  • Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa m no potencial V(r,\theta,\varphi,t):
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,\theta,\varphi,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(r,\theta,\varphi,t) + V(r,\theta,\varphi,t)\,\Psi(r,\theta,\varphi,t).
  • Substituindo explicitamente \nabla^2 em esféricas temos:
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial \Psi}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial \Psi}{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \varphi^2} \right] + V\Psi.
  • Aqui \Psi=\Psi(r,\theta,\varphi,t). Expliquei a substituição para que na prova você copie direto essa forma quando trabalhar com problemas em coordenadas esféricas.

Passo 9

Forma tempo-independente (autovalores) — útil para muitos problemas de física quântica.
  • Se V não depende de t e procuramos estados estacionários \Psi(r,\theta,\varphi,t)=\psi(r,\theta,\varphi)e^{-iEt/\hbar}, obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo:
-\frac{\hbar^2}{2m}\left[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} \right] + V(r,\theta,\varphi)\psi = E\psi.
  • Esta é a forma que se usa para separar variáveis quando V é centrado (isto é, V=V(r)): geralmente assume-se \psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi) e separa-se radial e angular. A parte angular leva aos harmônicos esféricos Y_{\ell m}(\theta,\varphi).

Passo 10

Exemplo prático curto (ajuda a fixar): função radial pura.
  • Se \psi=\psi(r) depende só de r, os termos em \theta e \varphi desaparecem e
\nabla^2\psi(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Big(r^2\frac{d\psi}{dr}\Big).
  • A equação radial correspondente (tempo-independente) fica:
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Big(r^2\frac{d\psi}{dr}\Big) + V(r)\psi = E\psi,
que frequentemente se transforma definindo u(r)=r\psi(r) para simplificar o termo derivativo (isso vira uma equação tipo 1D para u).

Resposta

\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial }{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 }{\partial \varphi^2},
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial \Psi}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial \Psi}{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial \varphi^2} \right] + V\Psi,
-\frac{\hbar^2}{2m}\left[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\Big) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\Big) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \varphi^2} \right] + V\psi = E\psi.

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