Obtenha as soluções da equação angular para o átomo de hidrogênio. O que tais soluções representam?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Obter as soluções da equação angular do átomo de hidrogênio (ou seja, encontrar as funções que surgem ao separar a parte angular da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas).
- Dizer o que essas soluções representam fisicamente.
Informações relevantes dadas / implícitas:
- Potencial central (Coulomb) implica que a equação de Schrödinger é separável em coordenadas esféricas
. - A separação de variáveis leva a uma equação angular que depende só em
e . - Não foi fornecida imagem ou valores numéricos adicionais; a tarefa é obter a forma geral das soluções angulares.
Passo 2
Escrever a equação angular que aparece ao separar a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas.
Rápido contexto (sem detalhes da separação radial): ao separar
obtém-se uma equação angular homogênea que pode ser escrita como a equação própria do operador angular. Essa equação é
onde
é o operador quadrático do momento angular orbital e
é constante de separação adimensional. Em coordenadas angulares a equação correspondente (dividida por
) fica
Aqui:
-
é o ângulo polar (colatitude), -
é o ângulo azimutal, -
é a função angular desconhecida.
Passo 3
Separar as variáveis angulares em
e
.
Assume-se produto separável
Substituindo na equação angular e dividindo por
obtém-se a separação de variáveis:
Apenas o segundo termo depende de
, logo ambos os lados devem ser iguais a constantes. Coloca-se a constante de separação
(positiva) — será justificado abaixo — e obtém-se duas equações ordinárias:
- Equação em
:
- Equação em
:
Explicação da escolha de
: o sinal é escolhido para que a equação em
seja periódica e admita soluções físicas.
Passo 4
Resolver a equação em
e impor a condição de unicidade (periodicidade).
A equação em
é a equação harmônica simples. Suas soluções gerais são
Para que
seja única ao adicionar
em
(condição de single-valued wavefunction), é necessário
Isso exige que
seja um número inteiro:
Convenção usual: escolher a solução de fase complexa normalizada
onde
é o número quântico magnético (inteiro, positivo, nulo ou negativo). A normalização em
satisfaz
.
Passo 5
Transformar a equação em
para a forma da equação de Legendre associada.
Faça a mudança de variável
Usando
e simplificando, a equação para
transforma-se na equação de Legendre associada para
:
onde
é a função em
relacionada a
por
.
Para que
seja regular (finita) em todo o intervalo
(correspondente a
e
) e para obter soluções polinomiais, a constante
deve ter a forma
com
e o índice
satisfaz
Essas escolhas garantem soluções regulares chamadas funções de Legendre associadas
.
Passo 6
Definir explicitamente as funções de Legendre associadas e relacioná‑las com
.
As funções de Legendre associadas podem ser obtidas da forma (Convenção Condon–Shortley com fase
):
onde
é o polinômio de Legendre de ordem
, dado por Rodrigues:
A solução angular em
é, portanto,
onde
é fator de normalização (entre
e
tomaremos a normalização conjunta abaixo).
Passo 7
Montar as soluções completas da equação angular: os harmônicos esféricos.
Combinando
e
obtém-se as funções angulares conhecidas como harmônicos esféricos:
O fator de normalização usual (normalização ortonormal sobre a esfera) é
Assim, para cada par de inteiros
com
e
existe uma solução angular normalizada
que satisfaz
Passo 8
Exemplos explícitos de harmônicos esféricos de baixa ordem (mostrar formas concretas para aprendizado).
-
:
-
:
-
:
-
:
Esses exemplos ajudam a ver a dependência angular e os nodos (linhas/planos onde o sinal muda).
Passo 9
Interpretação física e propriedades das soluções angulares.
O que representam essas soluções?
- As funções
são os harmônicos esféricos — são as soluções da equação angular para potencial central (como o do átomo de hidrogênio). - Elas são autofunções dos operadores
e (momento angular total e sua componente em ):
Portanto:
-
é o número quântico do momento angular orbital (valor de ), -
é o número quântico magnético (valor de ). - Fisicamente,
descrevem a dependência angular da função de onda: a probabilidade angular é dada por . - Eles determinam a forma espacial dos orbitais atômicos (por exemplo:
são orbitais , são , são , etc.) e os planos/linhas nodais (onde a função muda de sinal). - Propriedades importantes: ortonormalidade, completude (qualquer função razoável na esfera pode ser expandida em harmônicos esféricos), e paridade
.
Passo 10
Resumo prático para a prova — o que decorar e como usar.
- A equação angular leva aos harmônicos esféricos
. - Formas-chave:
com ; com e . - Solução completa:
- Lembre-se: essas funções são os autovalores/autofunções de
e e dão os formatos angulares dos orbitais atômicos.
Resposta
Essas soluções são os harmônicos esféricos: representam a parte angular da função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, são autofunções de
e
com autovalores
e
, e determinam a forma e os nodos dos orbitais atômicos (s, p, d, …).