Obtenha as soluções da equação angular para o átomo de hidrogênio. O que tais soluções representam?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Obter as soluções da equação angular do átomo de hidrogênio (ou seja, encontrar as funções que surgem ao separar a parte angular da equação de Schrödinger em coordenadas esféricas).
  • Dizer o que essas soluções representam fisicamente.
Informações relevantes dadas / implícitas:
  • Potencial central (Coulomb) implica que a equação de Schrödinger é separável em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi).
  • A separação de variáveis leva a uma equação angular que depende só em \theta e \varphi.
  • Não foi fornecida imagem ou valores numéricos adicionais; a tarefa é obter a forma geral das soluções angulares.

Passo 2

Escrever a equação angular que aparece ao separar a equação de Schrödinger em coordenadas esféricas.
Rápido contexto (sem detalhes da separação radial): ao separar \Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi) obtém-se uma equação angular homogênea que pode ser escrita como a equação própria do operador angular. Essa equação é
\hat{L}^2 Y(\theta,\varphi)=\lambda \hbar^2 Y(\theta,\varphi),
onde \hat{L}^2 é o operador quadrático do momento angular orbital e \lambda é constante de separação adimensional. Em coordenadas angulares a equação correspondente (dividida por \hbar^2) fica
-\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\varphi^2}\right]=\lambda Y.
Aqui:
  • \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (colatitude),
  • \varphi\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal,
  • Y(\theta,\varphi) é a função angular desconhecida.

Passo 3

Separar as variáveis angulares em \theta e \varphi.
Assume-se produto separável
Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta)\,\Phi(\varphi).
Substituindo na equação angular e dividindo por \Theta\Phi obtém-se a separação de variáveis:
-\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) -\frac{1}{\Phi}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2}=\lambda.
Apenas o segundo termo depende de \varphi, logo ambos os lados devem ser iguais a constantes. Coloca-se a constante de separação \,m^2 (positiva) — será justificado abaixo — e obtém-se duas equações ordinárias:
  • Equação em \varphi:
\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} + m^2\Phi = 0.
  • Equação em \theta:
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) +\left(\lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)\Theta = 0.
Explicação da escolha de m^2: o sinal é escolhido para que a equação em \varphi seja periódica e admita soluções físicas.

Passo 4

Resolver a equação em \varphi e impor a condição de unicidade (periodicidade).
A equação em \varphi é a equação harmônica simples. Suas soluções gerais são
\Phi(\varphi) = A e^{i m \varphi} + B e^{-i m\varphi}.
Para que \Phi(\varphi) seja única ao adicionar 2\pi em \varphi (condição de single-valued wavefunction), é necessário
\Phi(\varphi+2\pi)=\Phi(\varphi).
Isso exige que m seja um número inteiro:
m\in\mathbb{Z}.
Convenção usual: escolher a solução de fase complexa normalizada
\Phi(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m \varphi},
onde m é o número quântico magnético (inteiro, positivo, nulo ou negativo). A normalização em \varphi satisfaz \int_0^{2\pi}|\Phi|^2\,d\varphi=1.

Passo 5

Transformar a equação em \theta para a forma da equação de Legendre associada.
Faça a mudança de variável
x=\cos\theta,\qquad x\in[-1,1].
Usando d/d\theta = -\sin\theta\,d/dx e simplificando, a equação para \Theta(\theta) transforma-se na equação de Legendre associada para P_\ell^m(x):
\frac{d}{dx}\!\left[(1-x^2)\frac{dP(x)}{dx}\right] +\left[\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right]P(x)=0,
onde P(x) é a função em x relacionada a \Theta(\theta) por \Theta(\theta)=P(\cos\theta).
Para que P(x) seja regular (finita) em todo o intervalo [-1,1] (correspondente a \theta=0 e \theta=\pi) e para obter soluções polinomiais, a constante \lambda deve ter a forma
\lambda=\ell(\ell+1),
com
\ell=0,1,2,\dots
e o índice m satisfaz
|m|\le \ell.
Essas escolhas garantem soluções regulares chamadas funções de Legendre associadas P_\ell^m(x).

Passo 6

Definir explicitamente as funções de Legendre associadas e relacioná‑las com \Theta(\theta).
As funções de Legendre associadas podem ser obtidas da forma (Convenção Condon–Shortley com fase (-1)^m):
P_\ell^m(x)=(-1)^m (1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_\ell(x),
onde P_\ell(x) é o polinômio de Legendre de ordem \ell, dado por Rodrigues:
P_\ell(x)=\frac{1}{2^\ell \ell!}\frac{d^\ell}{dx^\ell}\bigl(x^2-1\bigr)^\ell.
A solução angular em \theta é, portanto,
\Theta_{\ell m}(\theta)=N'_{\ell m}\,P_\ell^{m}(\cos\theta),
onde N'_{\ell m} é fator de normalização (entre \theta e \varphi tomaremos a normalização conjunta abaixo).

Passo 7

Montar as soluções completas da equação angular: os harmônicos esféricos.
Combinando \Theta_{\ell m}(\theta) e \Phi_m(\varphi) obtém-se as funções angulares conhecidas como harmônicos esféricos:
Y_\ell^{m}(\theta,\varphi)=N_{\ell m}\,P_\ell^{m}(\cos\theta)\,e^{i m\varphi}.
O fator de normalização usual (normalização ortonormal sobre a esfera) é
N_{\ell m}=(-1)^m\sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}.
Assim, para cada par de inteiros (\ell,m) com \ell\ge0 e |m|\le\ell existe uma solução angular normalizada Y_\ell^{m}(\theta,\varphi) que satisfaz
\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi} Y_{\ell}^{m}(\theta,\varphi)^* Y_{\ell'}^{m'}(\theta,\varphi)\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}.

Passo 8

Exemplos explícitos de harmônicos esféricos de baixa ordem (mostrar formas concretas para aprendizado).
  • \ell=0, m=0:
Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}.
  • \ell=1, m=0:
Y_1^0(\theta,\varphi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta.
  • \ell=1, m=\pm1:
Y_1^{\pm1}(\theta,\varphi)=\mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}.
  • \ell=2, m=0:
Y_2^0(\theta,\varphi)=\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\bigl(3\cos^2\theta-1\bigr).
Esses exemplos ajudam a ver a dependência angular e os nodos (linhas/planos onde o sinal muda).

Passo 9

Interpretação física e propriedades das soluções angulares.
O que representam essas soluções?
  • As funções Y_\ell^{m}(\theta,\varphi) são os harmônicos esféricos — são as soluções da equação angular para potencial central (como o do átomo de hidrogênio).
  • Elas são autofunções dos operadores \hat{L}^2 e \hat{L}_z (momento angular total e sua componente em z):
\hat{L}^2 Y_\ell^{m} = \hbar^2 \ell(\ell+1) Y_\ell^{m},\qquad \hat{L}_z Y_\ell^{m} = \hbar m\, Y_\ell^{m}.
Portanto:
  • \ell é o número quântico do momento angular orbital (valor de \hat{L}^2),
  • m é o número quântico magnético (valor de \hat{L}_z).
  • Fisicamente, Y_\ell^{m} descrevem a dependência angular da função de onda: a probabilidade angular é dada por |Y_\ell^{m}(\theta,\varphi)|^2.
  • Eles determinam a forma espacial dos orbitais atômicos (por exemplo: \ell=0 são orbitais s, \ell=1 são p, \ell=2 são d, etc.) e os planos/linhas nodais (onde a função muda de sinal).
  • Propriedades importantes: ortonormalidade, completude (qualquer função razoável na esfera pode ser expandida em harmônicos esféricos), e paridade (-1)^\ell.

Passo 10

Resumo prático para a prova — o que decorar e como usar.
  • A equação angular leva aos harmônicos esféricos Y_\ell^{m}(\theta,\varphi).
  • Formas-chave: \Phi(\varphi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi} com m\in\mathbb{Z}; \lambda=\ell(\ell+1) com \ell=0,1,2,\dots e |m|\le\ell.
  • Solução completa:
Y_\ell^{m}(\theta,\varphi)=(-1)^m\sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}\;P_\ell^{m}(\cos\theta)\;e^{i m\varphi}.
  • Lembre-se: essas funções são os autovalores/autofunções de \hat{L}^2 e \hat{L}_z e dão os formatos angulares dos orbitais atômicos.

Resposta

Y_\ell^{m}(\theta,\varphi)=(-1)^m\sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}\;P_\ell^{m}(\cos\theta)\;e^{i m\varphi},\quad \ell=0,1,2,\dots,\quad m=-\ell,\dots,\ell
Essas soluções são os harmônicos esféricos: representam a parte angular da função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, são autofunções de \hat{L}^2 e \hat{L}_z com autovalores \hbar^2\ell(\ell+1) e \hbar m, e determinam a forma e os nodos dos orbitais atômicos (s, p, d, …).

Exercícios relacionados