Exercício 1 Considere um planeta esférico de raio
e massa total
, com uma densidade volumétrica de massa uniforme
. Um túnel estreito e reto é perfurado passando pelo centro do planeta, conectando dois pontos diametralmente opostos. Uma partícula de massa
é solta do repouso na superfície do planeta, caindo através do túnel.
O Teorema das Cascas Esféricas de Newton afirma que: (1) uma casca esférica uniforme atrai uma partícula externa como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro; (2) uma casca esférica uniforme não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada em seu interior.
Com base neste teorema, responda:
a) Seja
a distância da partícula ao centro do planeta (
). Expresse a massa
da porção do planeta que contribui para a atração gravitacional sobre a partícula, em função da densidade
e do raio
.
b) Mostre que a força gravitacional
exercida sobre a partícula em qualquer ponto no interior do túnel é restauradora e proporcional a
. Expresse
em termos de
e
.
c) Escreva a Segunda Lei de Newton para a partícula e obtenha a equação diferencial que descreve o movimento. Apresente a solução geral
e demonstre, a partir da relação entre aceleração e posição, que o sistema executa um Movimento Harmônico Simples (identifique a frequência angular
).
d) Supondo que a partícula seja solta do repouso (
) na superfície [
], determine os valores da amplitude
e da constante de fase
para a solução encontrada no item anterior.
O Teorema das Cascas Esféricas de Newton afirma que: (1) uma casca esférica uniforme atrai uma partícula externa como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro; (2) uma casca esférica uniforme não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada em seu interior.
Com base neste teorema, responda:
a) Seja
b) Mostre que a força gravitacional
c) Escreva a Segunda Lei de Newton para a partícula e obtenha a equação diferencial que descreve o movimento. Apresente a solução geral
d) Supondo que a partícula seja solta do repouso (
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
Informações dadas:
- Raio do planeta:
. - Massa total do planeta:
. - Densidade volumétrica uniforme:
. - Há um túnel fino e reto passando pelo centro do planeta, ligando pontos diametralmente opostos.
- Uma partícula de massa
é solta do repouso na superfície e cai através do túnel. - Foi lembrado o Teorema das Cascas Esféricas: (1) uma casca esférica uniforme atrai externamente como se toda sua massa estivesse no centro; (2) uma casca esférica uniforme não exerce força sobre uma partícula localizada no seu interior.
Perguntas pedidas:
(a) Para (distância da partícula ao centro), expressar a massa
da porção do planeta que contribui para a atração sobre a partícula, em função de
e
.
(b) Mostrar que a força gravitacional sobre a partícula dentro do túnel é restauradora e proporcional a
; expressar
em termos de
.
(c) Escrever a Segunda Lei de Newton e obter a equação diferencial do movimento; apresentar a solução geral e demonstrar que é Movimento Harmônico Simples, identificando a frequência angular
.
(d) Supondo e
, determinar a amplitude
e a fase
da solução do item (c).
(a) Para
(b) Mostrar que a força gravitacional
(c) Escrever a Segunda Lei de Newton e obter a equação diferencial do movimento; apresentar a solução geral
(d) Supondo
Passo 2
(a) Calcular
em função de
e
.
Explicação didática rápida: densidade volumétrica
é massa por unidade de volume. O volume de uma esfera de raio
é
. Logo a massa contida dentro de um raio
(isto é, a massa das cascas internas que realmente atraem a partícula quando ela está a distância
do centro) é simplesmente densidade vezes volume.
Portanto:
Passo 3
Também é útil escrever
em função de
e das razões de volumes, porque o enunciado pede expressões envolvendo
depois.
Explicação: a massa total do planeta é a densidade vezes o volume total:
Isolando
e substituindo em
dá:
Isso é interessante porque mostra que a massa efetiva que atrai a partícula cresce como
.
Passo 4
(b) Calcular a força gravitacional
e mostrar que é restauradora e proporcional a
.
Explicação das leis usadas:
- Lei da gravitação universal de Newton (módulo da força entre duas massas pontuais):
, onde é a constante gravitacional, são massas e distância entre elas. - Pelo Teorema das Cascas Esféricas aplicado aqui: somente a massa contida dentro de raio
contribui; as cascas externas não exercem força líquida sobre a partícula.
Aplicando a lei da gravitação com
(partícula),
e distância
, o módulo da força é
Substituindo
(do Passo 3):
Direção e sinal (restauradora): a força aponta para o centro do planeta, ou seja, é dirigida no sentido de diminuir
. Se usarmos
com sinal (posição escalar ao longo do túnel, positiva para um lado e negativa para o outro), a força vetorial é
Aqui o sinal negativo indica que a força é dirigida para o centro (oposta ao deslocamento): é uma força restauradora proporcional a
.
Passo 5
Comentário didático sobre proporcionalidade: vimos que
e a lei gravitacional dá divisão por
, por isso sobra uma dependência linear
. Esse cancelamento é a razão física pela qual o movimento dentro do túnel se torna harmônico.
Passo 6
(c) Escrever a Segunda Lei de Newton e obter a equação diferencial do movimento.
Segunda Lei de Newton em forma unidimensional para a partícula:
Substituindo
(do Passo 4) obtemos:
Cancelar
(desde que
):
Passo 7
Resolver a equação diferencial e identificar que é Movimento Harmônico Simples.
Explicação: a equação diferencial
é a equação padrão do Movimento Harmônico Simples (MHS), cuja solução geral é uma combinação linear de cosseno e seno com frequência angular
.
Comparando com nossa equação, identificamos
Portanto a solução geral pode ser escrita de duas formas equivalentes. Forma com constantes integracionais:
ou, em forma de amplitude e fase,
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Demonstração do MHS: derivando duas vezes a solução acima obtém-se
, que mostra explicitamente que a aceleração é proporcional a
com constante
, característica do MHS.
Passo 8
(d) Aplicar as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Usar a forma
.
Condições iniciais:
Da segunda igualdade
e como
e
são não nulos (partícula se move), obtemos
. As soluções são
ou
(mais
, mas escolhemos principal).
Se
então
→
.
Se então
→
, mas amplitude convencionalmente tomada não negativa, então isso corresponderia a
com fase
e deslocamento inicial negativo; porém a escolha natural que respeita
é
Se
Interpretação física: a partícula começa na superfície a
com velocidade zero; portanto o movimento é um oscilador com amplitude igual ao raio do planeta e fase zero, fazendo com que
.
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
. A solução geral é
ou
, com
.
(d) Para
e
:
e
.