Exercício 1 Considere um planeta esférico de raio R e massa total M, com uma densidade volumétrica de massa uniforme \rho. Um túnel estreito e reto é perfurado passando pelo centro do planeta, conectando dois pontos diametralmente opostos. Uma partícula de massa m é solta do repouso na superfície do planeta, caindo através do túnel.
O Teorema das Cascas Esféricas de Newton afirma que: (1) uma casca esférica uniforme atrai uma partícula externa como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro; (2) uma casca esférica uniforme não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada em seu interior.
Com base neste teorema, responda:
a) Seja r a distância da partícula ao centro do planeta ( r<R ). Expresse a massa M_{\text {int }} da porção do planeta que contribui para a atração gravitacional sobre a partícula, em função da densidade \rho e do raio r.
b) Mostre que a força gravitacional F(r) exercida sobre a partícula em qualquer ponto no interior do túnel é restauradora e proporcional a r. Expresse F(r) em termos de G, M, m, R e r.
c) Escreva a Segunda Lei de Newton para a partícula e obtenha a equação diferencial que descreve o movimento. Apresente a solução geral r(t) e demonstre, a partir da relação entre aceleração e posição, que o sistema executa um Movimento Harmônico Simples (identifique a frequência angular \omega ).
d) Supondo que a partícula seja solta do repouso ( v_{0}=0 ) na superfície [ r(0)=R ], determine os valores da amplitude A e da constante de fase \varphi para a solução encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as perguntas listadas abaixo.
Informações dadas:
  • Raio do planeta: R.
  • Massa total do planeta: M.
  • Densidade volumétrica uniforme: \rho.
  • Há um túnel fino e reto passando pelo centro do planeta, ligando pontos diametralmente opostos.
  • Uma partícula de massa m é solta do repouso na superfície e cai através do túnel.
  • Foi lembrado o Teorema das Cascas Esféricas: (1) uma casca esférica uniforme atrai externamente como se toda sua massa estivesse no centro; (2) uma casca esférica uniforme não exerce força sobre uma partícula localizada no seu interior.
Perguntas pedidas:
(a) Para r<R (distância da partícula ao centro), expressar a massa M_{\text{int}} da porção do planeta que contribui para a atração sobre a partícula, em função de \rho e r.
(b) Mostrar que a força gravitacional F(r) sobre a partícula dentro do túnel é restauradora e proporcional a r; expressar F(r) em termos de G,M,m,R,r.
(c) Escrever a Segunda Lei de Newton e obter a equação diferencial do movimento; apresentar a solução geral r(t) e demonstrar que é Movimento Harmônico Simples, identificando a frequência angular \omega.
(d) Supondo v_0=0 e r(0)=R, determinar a amplitude A e a fase \varphi da solução do item (c).

Passo 2

(a) Calcular M_{\text{int}} em função de \rho e r.
Explicação didática rápida: densidade volumétrica \rho é massa por unidade de volume. O volume de uma esfera de raio r é \tfrac{4}{3}\pi r^3. Logo a massa contida dentro de um raio r (isto é, a massa das cascas internas que realmente atraem a partícula quando ela está a distância r do centro) é simplesmente densidade vezes volume.
Portanto:
M_{\text{int}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 3

Também é útil escrever M_{\text{int}} em função de M e das razões de volumes, porque o enunciado pede expressões envolvendo M depois.
Explicação: a massa total do planeta é a densidade vezes o volume total:
M=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Isolando \rho e substituindo em M_{\text{int}} dá:
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}} \qquad\Rightarrow\qquad M_{\text{int}}=\left(\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\right)\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=M\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Isso é interessante porque mostra que a massa efetiva que atrai a partícula cresce como r^{3}.

Passo 4

(b) Calcular a força gravitacional F(r) e mostrar que é restauradora e proporcional a r.
Explicação das leis usadas:
  • Lei da gravitação universal de Newton (módulo da força entre duas massas pontuais): F=\dfrac{G\,m_1 m_2}{d^{2}}, onde G é a constante gravitacional, m_1,m_2 são massas e d distância entre elas.
  • Pelo Teorema das Cascas Esféricas aplicado aqui: somente a massa contida dentro de raio r contribui; as cascas externas não exercem força líquida sobre a partícula.
Aplicando a lei da gravitação com m_1=m (partícula), m_2=M_{\text{int}} e distância d=r, o módulo da força é
F_{\text{mód}}(r)=\frac{G\,m\,M_{\text{int}}}{r^{2}}.ó
Substituindo M_{\text{int}}=M\frac{r^{3}}{R^{3}} (do Passo 3):
F_{\text{mód}}(r)=\frac{G\,m\,M\,\dfrac{r^{3}}{R^{3}}}{r^{2}}=\frac{G\,M\,m}{R^{3}}\,r.ó
Direção e sinal (restauradora): a força aponta para o centro do planeta, ou seja, é dirigida no sentido de diminuir r. Se usarmos r com sinal (posição escalar ao longo do túnel, positiva para um lado e negativa para o outro), a força vetorial é
F(r)=-\frac{G\,M\,m}{R^{3}}\,r.
Aqui o sinal negativo indica que a força é dirigida para o centro (oposta ao deslocamento): é uma força restauradora proporcional a r.

Passo 5

Comentário didático sobre proporcionalidade: vimos que M_{\text{int}}\propto r^{3} e a lei gravitacional dá divisão por r^{2}, por isso sobra uma dependência linear \propto r. Esse cancelamento é a razão física pela qual o movimento dentro do túnel se torna harmônico.

Passo 6

(c) Escrever a Segunda Lei de Newton e obter a equação diferencial do movimento.
Segunda Lei de Newton em forma unidimensional para a partícula:
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=F(r).
Substituindo F(r)=-\dfrac{G\,M\,m}{R^{3}}\,r (do Passo 4) obtemos:
m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{G\,M\,m}{R^{3}}\,r.
Cancelar m (desde que m\neq0):
\frac{d^{2}r}{dt^{2}}+\frac{G\,M}{R^{3}}\,r=0.

Passo 7

Resolver a equação diferencial e identificar que é Movimento Harmônico Simples.
Explicação: a equação diferencial
\frac{d^{2}r}{dt^{2}}+\omega^{2}r=0
é a equação padrão do Movimento Harmônico Simples (MHS), cuja solução geral é uma combinação linear de cosseno e seno com frequência angular \omega.
Comparando com nossa equação, identificamos
\omega^{2}=\frac{G\,M}{R^{3}} \qquad\Rightarrow\qquad \omega=\sqrt{\frac{G\,M}{R^{3}}}.
Portanto a solução geral pode ser escrita de duas formas equivalentes. Forma com constantes integracionais:
r(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),
ou, em forma de amplitude e fase,
r(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A\ge0 e \varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Demonstração do MHS: derivando duas vezes a solução acima obtém-se \dfrac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\omega^{2}r, que mostra explicitamente que a aceleração é proporcional a -r com constante \omega^{2}, característica do MHS.

Passo 8

(d) Aplicar as condições iniciais r(0)=R e v(0)=v_{0}=0 para determinar A e \varphi.
Usar a forma r(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Condições iniciais:
r(0)=A\cos(\varphi)=R,
v(t)=\frac{dr}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\quad\Rightarrow\quad v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=0.
Da segunda igualdade -A\omega\sin(\varphi)=0 e como A e \omega são não nulos (partícula se move), obtemos \sin(\varphi)=0. As soluções são \varphi=0 ou \varphi=\pi (mais 2\pi k, mas escolhemos principal).
Se \varphi=0 então A\cos(\varphi)=A=R A=R.
Se \varphi=\pi então A\cos(\varphi)=-A=R A=-R, mas amplitude convencionalmente tomada não negativa, então isso corresponderia a A=R com fase \varphi=\pi e deslocamento inicial negativo; porém a escolha natural que respeita r(0)=R>0 é
A=R,\qquad \varphi=0.
Interpretação física: a partícula começa na superfície a r=R com velocidade zero; portanto o movimento é um oscilador com amplitude igual ao raio do planeta e fase zero, fazendo com que r(0)=R.

Resposta

(a) M_{\text{int}}=\rho\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^{3}.
(b) F(r)=-\dfrac{G\,M\,m}{R^{3}}\,r.
(c) \displaystyle\frac{d^{2}r}{dt^{2}}+\frac{G\,M}{R^{3}}\,r=0. A solução geral é r(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t) ou r(t)=A\cos(\omega t+\varphi), com \displaystyle\omega=\sqrt{\frac{G\,M}{R^{3}}}.
(d) Para r(0)=R e v(0)=0: A=R e \varphi=0.

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