(a) Escreva uma equação vetorial do plano que tem equações paramétricas
\left\{\begin{array}{l} x=6+\lambda+\mu \\\ y=1+7 \lambda+4 \mu \\\ z=4+5 \lambda+2 \mu \end{array} \quad(\lambda, \mu \in \mathbb{R})\right.
(b) Obtenha três pontos não-colineares desse plano.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas do plano, com parâmetros \lambda e \mu:
\left\{\begin{array}{l} x=6+\lambda+\mu \\\ y=1+7\lambda+4\mu \\\ z=4+5\lambda+2\mu \end{array}\quad(\lambda,\mu\in\mathbb{R})\right.
O que se pede:
  • (a) Escrever uma equação vetorial do plano (ou seja, escrever \vec r em função de \lambda e \mu);
  • (b) Obter três pontos não-colineares que pertencem ao plano.
Guarde que as informações relevantes são as constantes (termos independentes) (6,1,4) e os coeficientes das variáveis \lambda e \mu nas três coordenadas.

Passo 2

Como transformar equações paramétricas em equação vetorial (a ideia e a fórmula).
  • Representamos o vetor posição genérico como \vec r=(x,y,z).
  • A forma padrão da equação vetorial de um plano gerado por dois vetores diretores é
\vec r=\vec r_0+\lambda\vec v+\mu\vec w,
onde:
  • \vec r_0 é um vetor posição de um ponto conhecido do plano (ponto-base);
  • \vec v e \vec w são vetores diretores do plano (os vetores que correspondem às variações quando \lambda e \mu mudam).
    Explicando: \vec r_0 fixa um ponto no plano; ao somarmos combinações lineares de \vec v e \vec w obtemos todos os pontos do plano.

Passo 3

Identificar \vec r_0, \vec v e \vec w a partir das equações paramétricas.
  • O ponto correspondente a \lambda=0,\mu=0 é o termo constante: \vec r_0=(6,1,4).
  • O vetor associado a \lambda é dado pelos coeficientes de \lambda nas três equações: \vec v=(1,7,5).
  • O vetor associado a \mu é dado pelos coeficientes de \mu: \vec w=(1,4,2).
Portanto a equação vetorial do plano fica, substituindo na fórmula:
\vec r=(6,1,4)+\lambda(1,7,5)+\mu(1,4,2),\qquad (\lambda,\mu\in\mathbb{R}).

Passo 4

Mostrar passo a passo como obter pontos do plano escolhendo valores de \lambda e \mu.
Qualquer par (\lambda,\mu) gera um ponto (x,y,z) pelas equações paramétricas. Vou escolher valores simples para obter três pontos fáceis de calcular:
  • Para \lambda=0,\mu=0: x=6+0+0=6,\quad y=1+0+0=1,\quad z=4+0+0=4.Logo o ponto é (6,1,4).
  • Para \lambda=1,\mu=0: x=6+1+0=7,\quad y=1+7\cdot1+4\cdot0=8,\quad z=4+5\cdot1+2\cdot0=9.Logo o ponto é (7,8,9).
  • Para \lambda=0,\mu=1: x=6+0+1=7,\quad y=1+7\cdot0+4\cdot1=5,\quad z=4+5\cdot0+2\cdot1=6.Logo o ponto é (7,5,6).

Passo 5

Verificar que os três pontos encontrados não são colineares (ou seja, não estão todos numa mesma reta).
  • Calcule os vetores entre os pontos partindo de (6,1,4): \overrightarrow{P_0P_1}=(7-6,\,8-1,\,9-4)=(1,7,5),
\overrightarrow{P_0P_2}=(7-6,\,5-1,\,6-4)=(1,4,2).
  • Observação rápida sobre colinearidade: dois vetores são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro) se e somente se representam a mesma direção. Aqui, se existisse t tal que (1,7,5)=t(1,4,2), então comparando a primeira componente teríamos 1=t, e então a segunda componente exigiria 7=t\cdot 4=4, o que é falso. Logo \overrightarrow{P_0P_1} e \overrightarrow{P_0P_2} não são proporcionais, portanto os pontos não são colineares.
  • Conclusão: os três pontos pertencem ao plano e são não-colineares.

Resposta

\displaystyle \vec r=(6,1,4)+\lambda(1,7,5)+\mu(1,4,2),\quad(\lambda,\mu\in\mathbb{R})\n
(6,1,4)\n
(7,8,9)\n
(7,5,6)

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