(a) Escrever uma equação vetorial do plano (ou seja, escrever \vec r em função de \lambda e \mu);
(b) Obter três pontos não-colineares que pertencem ao plano.
Guarde que as informações relevantes são as constantes (termos independentes) (6,1,4) e os coeficientes das variáveis \lambda e \mu nas três coordenadas.
Passo 2
Como transformar equações paramétricas em equação vetorial (a ideia e a fórmula).
Representamos o vetor posição genérico como \vec r=(x,y,z).
A forma padrão da equação vetorial de um plano gerado por dois vetores diretores é
\vec r=\vec r_0+\lambda\vec v+\mu\vec w,
onde:
\vec r_0 é um vetor posição de um ponto conhecido do plano (ponto-base);
\vec v e \vec w são vetores diretores do plano (os vetores que correspondem às variações quando \lambda e \mu mudam).
Explicando: \vec r_0 fixa um ponto no plano; ao somarmos combinações lineares de \vec v e \vec w obtemos todos os pontos do plano.
Passo 3
Identificar \vec r_0, \vec v e \vec w a partir das equações paramétricas.
O ponto correspondente a \lambda=0,\mu=0 é o termo constante:\vec r_0=(6,1,4).
O vetor associado a \lambda é dado pelos coeficientes de \lambda nas três equações:\vec v=(1,7,5).
O vetor associado a \mu é dado pelos coeficientes de \mu:\vec w=(1,4,2).
Portanto a equação vetorial do plano fica, substituindo na fórmula:
Mostrar passo a passo como obter pontos do plano escolhendo valores de \lambda e \mu.
Qualquer par (\lambda,\mu) gera um ponto (x,y,z) pelas equações paramétricas. Vou escolher valores simples para obter três pontos fáceis de calcular:
Para \lambda=0,\mu=0:x=6+0+0=6,\quad y=1+0+0=1,\quad z=4+0+0=4.Logo o ponto é (6,1,4).
Para \lambda=1,\mu=0:x=6+1+0=7,\quad y=1+7\cdot1+4\cdot0=8,\quad z=4+5\cdot1+2\cdot0=9.Logo o ponto é (7,8,9).
Para \lambda=0,\mu=1:x=6+0+1=7,\quad y=1+7\cdot0+4\cdot1=5,\quad z=4+5\cdot0+2\cdot1=6.Logo o ponto é (7,5,6).
Passo 5
Verificar que os três pontos encontrados não são colineares (ou seja, não estão todos numa mesma reta).
Calcule os vetores entre os pontos partindo de (6,1,4):\overrightarrow{P_0P_1}=(7-6,\,8-1,\,9-4)=(1,7,5),
Observação rápida sobre colinearidade: dois vetores são proporcionais (um é múltiplo escalar do outro) se e somente se representam a mesma direção. Aqui, se existisse t tal que (1,7,5)=t(1,4,2), então comparando a primeira componente teríamos 1=t, e então a segunda componente exigiria 7=t\cdot 4=4, o que é falso. Logo \overrightarrow{P_0P_1} e \overrightarrow{P_0P_2} não são proporcionais, portanto os pontos não são colineares.
Conclusão: os três pontos pertencem ao plano e são não-colineares.