Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
b) \overrightarrow{\mathrm{i}} e \overrightarrow{\mathrm{j}}

Passo 1

Enunciado: mostrar que o par de vetores \overrightarrow{\mathrm{i}} e \overrightarrow{\mathrm{j}} é ortogonal.
Informações dadas:
  • O vetor \overrightarrow{\mathrm{i}} é o vetor unitário na direção do eixo x.
  • O vetor \overrightarrow{\mathrm{j}} é o vetor unitário na direção do eixo y.
Valores que usarei (notação em componentes):
  • \overrightarrow{\mathrm{i}} = (1,0).
  • \overrightarrow{\mathrm{j}} = (0,1).
O que o enunciado pede: provar que esses dois vetores são ortogonais (ou seja, que formam ângulo de 90^\circ entre si).

Passo 2

Definição e ferramentas que vou usar (explicadas passo a passo).
  1. Produto escalar (ou produto interno) em \mathbb{R}^2.
Se \mathbf{u}=(u_1,u_2) e \mathbf{v}=(v_1,v_2), o produto escalar é definido por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1 v_1 + u_2 v_2.
Aqui cada u_i e v_i é a coordenada correspondente dos vetores (por exemplo, u_1 é a componente x de \mathbf{u}, u_2 é a componente y, e assim por diante).
  1. Relação entre produto escalar e ângulo.
Existe também a fórmula geométrica
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde |\mathbf{u}| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}, |\mathbf{v}| é a norma de \mathbf{v}, e \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Dessa relação segue um teste prático:
  • Dois vetores não nulos são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja, \mathbf{u} é ortogonal a \mathbf{v} se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Vou usar a definição do produto escalar por coordenadas (item 1) porque é o modo mais direto e rápido para vetores dados em componentes.

Passo 3

Aplicar a definição ao caso específico.
Escrevendo novamente as componentes:
\overrightarrow{\mathrm{i}}=(1,0),\qquad \overrightarrow{\mathrm{j}}=(0,1).
Pelo produto escalar em componentes,
\overrightarrow{\mathrm{i}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{j}} = 1\cdot 0 + 0\cdot 1.

Passo 4

Calcular e interpretar o resultado.
Calculemos a soma:
1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0 + 0 = 0.
Como o produto escalar é 0 e ambos os vetores são não nulos (cada um tem norma 1), concluímos que os vetores são ortogonais. Pela relação geométrica, isso também implica que o ângulo entre eles é \theta=90^\circ porque \cos\theta=0.

Passo 5

Observações práticas para a prova (dicas rápidas e conforto).
  • Em provas, ao ver \overrightarrow{\mathrm{i}} e \overrightarrow{\mathrm{j}} já pense imediatamente em (1,0) e (0,1) e calcule o produto escalar: normalmente sai zero rápido.
  • Exemplo extra (para treinar): os vetores (1,2) e (2,-1) são ortogonais porque 1\cdot 2 + 2\cdot(-1)=2-2=0.
  • Respira fundo: identificar ortogonalidade via produto escalar é uma das técnicas mais diretas — treine alguns exemplos e fica automático.

Resposta

Sim. \overrightarrow{\mathrm{i}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{j}}=0, portanto são ortogonais.

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