Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais:
b)
e
b)
Passo 1
Enunciado: mostrar que o par de vetores
e
é ortogonal.
Informações dadas:
- O vetor
é o vetor unitário na direção do eixo . - O vetor
é o vetor unitário na direção do eixo .
Valores que usarei (notação em componentes):
-
. -
.
O que o enunciado pede: provar que esses dois vetores são ortogonais (ou seja, que formam ângulo de
entre si).
Passo 2
Definição e ferramentas que vou usar (explicadas passo a passo).
- Produto escalar (ou produto interno) em
.
Se
e
, o produto escalar é definido por
Aqui cada
e
é a coordenada correspondente dos vetores (por exemplo,
é a componente
de
,
é a componente
, e assim por diante).
- Relação entre produto escalar e ângulo.
Existe também a fórmula geométrica
onde
é o comprimento (norma) de
,
é a norma de
, e
é o ângulo entre
e
. Dessa relação segue um teste prático:
- Dois vetores não nulos são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for igual a zero. Ou seja,
é ortogonal a se .
Vou usar a definição do produto escalar por coordenadas (item 1) porque é o modo mais direto e rápido para vetores dados em componentes.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso específico.
Escrevendo novamente as componentes:
Pelo produto escalar em componentes,
Passo 4
Calcular e interpretar o resultado.
Calculemos a soma:
Como o produto escalar é
e ambos os vetores são não nulos (cada um tem norma
), concluímos que os vetores são ortogonais. Pela relação geométrica, isso também implica que o ângulo entre eles é
porque
.
Passo 5
Observações práticas para a prova (dicas rápidas e conforto).
- Em provas, ao ver
e já pense imediatamente em e e calcule o produto escalar: normalmente sai zero rápido. - Exemplo extra (para treinar): os vetores
e são ortogonais porque . - Respira fundo: identificar ortogonalidade via produto escalar é uma das técnicas mais diretas — treine alguns exemplos e fica automático.
Resposta
Sim.
, portanto são ortogonais.