Mostrar que os vetores v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(0,1,1) e v_{3}=(0,0,1) geram o \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores v_{1}=(1,0,1),\; v_{2}=(0,1,1) e v_{3}=(0,0,1) geram o espaço \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
v_{1}=(1,0,1).
v_{2}=(0,1,1).
v_{3}=(0,0,1).
O que precisa ser provado: que qualquer vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como combinação linear dos vetores v_{1},v_{2},v_{3}; ou seja, existem escalares reais a,b,c tais que
a v_{1} + b v_{2} + c v_{3} = (x,y,z).
Passo 2
O que significa "gerar \mathbb{R}^{3}"? Vou explicar isso de forma bem direta.
Dizemos que os vetores v_{1},v_{2},v_{3} geram \mathbb{R}^{3} se todo vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser obtido como combinação linear desses vetores.
“Combinação linear” quer dizer um somatório do tipo a v_{1} + b v_{2} + c v_{3}, onde a,b,c são números reais (os coeficientes).
Portanto, para provar que os vetores geram \mathbb{R}^{3} basta, para um vetor genérico (x,y,z), encontrar a,b,c\in\mathbb{R} que satisfaçam a igualdade da etapa anterior.
Passo 3
Vamos montar a equação com incógnitas a,b,c. Escrevo a exigência:
a v_{1} + b v_{2} + c v_{3} = (x,y,z).
Substituindo os vetores dados:
a(1,0,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1) = (x,y,z).
Agora faço a soma componente a componente para obter um sistema de equações. Pela primeira componente (coordenada x):
a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 0 = x \quad\Rightarrow\quad a = x.
Pela segunda componente (coordenada y):
a\cdot 0 + b\cdot 1 + c\cdot 0 = y \quad\Rightarrow\quad b = y.
Pela terceira componente (coordenada z):
a\cdot 1 + b\cdot 1 + c\cdot 1 = z \quad\Rightarrow\quad a + b + c = z.
Passo 4
Agora substituo os valores de a e b já encontrados na terceira equação para obter c. Sabendo a=x e b=y,
x + y + c = z \quad\Rightarrow\quad c = z - x - y.
Logo encontrei coeficientes a,b,c em termos de x,y,z:
a = x,\qquad b = y,\qquad c = z - x - y.
Como esses valores são bem definidos para qualquer escolha de x,y,z\in\mathbb{R}, concluímos que para qualquer (x,y,z) existe uma combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} que dá (x,y,z). Escrevendo explicitamente:
(x,y,z) = x\,v_{1} + y\,v_{2} + (z - x - y)\,v_{3}.
Isso provou que os vetores geram \mathbb{R}^{3}.
Passo 5
Um comentário extra (opcional, só para contexto): outra forma de ver isto é montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},
e notar que \det(A)=1\neq 0. Como as colunas formam uma matriz invertível, elas são base de \mathbb{R}^{3} e portanto geram \mathbb{R}^{3}. Isso confirma o resultado anterior.]