ou seja: determinar A (normalização), identificar E compatível e mostrar que a função satisfaz as equações de Schrödinger apropriadas para um poço infinito de largura a. Informações fornecidas que vou usar: A é uma constante complexa a achar, E é a energia associada, a é a largura, e \hbar é a constante de Planck reduzida.]
Passo 2
Antes de escrever as equações: o que é uma equação de autovalor? Seja um operador linear \hat O (uma “regra” para transformar funções ou vetores). Uma equação de autovalor tem a forma
\hat O\varphi = \lambda \varphi,
onde \varphi é um autovetor (no caso QM, uma função de onda) e \lambda é o autovalor (o resultado numérico que aparece quando medimos a grandeza associada a \hat O). Fisicamente: estar num autovetor de \hat O significa que a medição da grandeza dará sempre o mesmo valor \lambda.
Passo 3
Três equações de autovalores importantes (escrevo cada uma e explico o significado):
Equação de autovalores do Hamiltoniano (energia estacionária)
\hat H\psi = E\psi,
onde, em uma dimensão com potencial V(x),
\hat H = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+V(x).
Significado: \psi é um autovetor do Hamiltoniano e E é a energia associada. Se a função de onda é desse tipo, sua dependência temporal é simples e^{-iEt/\hbar} e a medição de energia sempre retorna E.
Equação de autovalores do momento linear (operador \hat p)
\hat p \varphi = p \varphi,
com
\hat p = -i\hbar \dfrac{d}{dx}.
Significado: \varphi é um estado de momento bem definido com valor p. Note que autovetores de \hat p em espaço contínuo são funções \varphi(x)\propto e^{ipx/\hbar} (ondas planas), que não são normalizáveis em espaço infinito no sentido usual (são distribuições).
Equações de autovalores do momento angular (no caso tridimensional)
onde l=0,1,2,\dots e m=-l,\dots,+l.
Significado: \ket{l,m} são estados com momento angular total bem definido (\hbar^2 l(l+1)) e componente z bem definida (\hbar m). Essas equações mostram a quantização do momento angular.
(Observação rápida e útil: há também operadores como o operador de posição \hat x com autovalor x, e o operador de paridade \hat \Pi com autovalores \pm 1, etc.)
Passo 4
Agora vamos verificar a função \Psi(x,t). Primeiro: normalização — determinar A.
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
Como |e^{-iEt/\hbar}|^2=1 e \Psi é zero fora do intervalo [-a/2,a/2], obtemos
ou seja, \Psi satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo dentro do poço. Fora do poço \Psi=0 e a condição física do poço infinito (potencial infinito fora) exige \Psi=0 nas regiões externas — portanto a função dada é consistente com o poço infinito e com as condições de contorno \Psi(\pm a/2)=0.
Passo 7
Observações físicas finais e propriedades:
Já encontramos a constante de normalização A=\sqrt{2/a}.
A energia associada é \displaystyle E=\dfrac{2\pi^2\hbar^2}{m a^2}.
A função dada não é um autoestado do operador momento \hat p=-i\hbar d/dx, pois \hat p\psi\propto\cos(2\pi x/a) que não é proporcional a \psi(x). Logo momento não tem valor definido.
A função é um autoestado da paridade: \psi(-x)=-\psi(x), então tem autovalor de paridade -1.
e \Psi(x,t) está normalizada, satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo e é autovetor do Hamiltoniano do poço infinito (ou seja, é um estado de energia estacionária); não é autovetor do operador momento, e tem paridade -1.