(d) Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam.
Verifique que a função de onda
\Psi(x, t)=\begin{array}{cc} A \operatorname{sen} \frac{2 \pi x}{a} e^{-i E t / \hbar} & -a / 2<x<+a / 2 \\\\ 0 & x<-a / 2 \text { ou } x>+a / 2 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever três equações de autovalores da mecânica quântica e explicar o que elas significam.
  • Verificar a função de onda dada
\Psi(x,t)=\begin{cases} A\,\operatorname{sen}\!\dfrac{2\pi x}{a}\;e^{-iEt/\hbar},&-a/2<x<a/2,\\[6pt] 0,&x<-a/2\\ \text{ou}\\ x>+a/2, \end{cases}
ou seja: determinar A (normalização), identificar E compatível e mostrar que a função satisfaz as equações de Schrödinger apropriadas para um poço infinito de largura a. Informações fornecidas que vou usar: A é uma constante complexa a achar, E é a energia associada, a é a largura, e \hbar é a constante de Planck reduzida.]

Passo 2

Antes de escrever as equações: o que é uma equação de autovalor? Seja um operador linear \hat O (uma “regra” para transformar funções ou vetores). Uma equação de autovalor tem a forma
\hat O\varphi = \lambda \varphi,
onde \varphi é um autovetor (no caso QM, uma função de onda) e \lambda é o autovalor (o resultado numérico que aparece quando medimos a grandeza associada a \hat O). Fisicamente: estar num autovetor de \hat O significa que a medição da grandeza dará sempre o mesmo valor \lambda.

Passo 3

Três equações de autovalores importantes (escrevo cada uma e explico o significado):
  1. Equação de autovalores do Hamiltoniano (energia estacionária)
\hat H\psi = E\psi,
onde, em uma dimensão com potencial V(x),
\hat H = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+V(x).
Significado: \psi é um autovetor do Hamiltoniano e E é a energia associada. Se a função de onda é desse tipo, sua dependência temporal é simples e^{-iEt/\hbar} e a medição de energia sempre retorna E.
  1. Equação de autovalores do momento linear (operador \hat p)
\hat p \varphi = p \varphi,
com
\hat p = -i\hbar \dfrac{d}{dx}.
Significado: \varphi é um estado de momento bem definido com valor p. Note que autovetores de \hat p em espaço contínuo são funções \varphi(x)\propto e^{ipx/\hbar} (ondas planas), que não são normalizáveis em espaço infinito no sentido usual (são distribuições).
  1. Equações de autovalores do momento angular (no caso tridimensional)
\hat L^2\ket{l,m} = \hbar^2 l(l+1)\ket{l,m}, \qquad \hat L_z\ket{l,m} = \hbar m\ket{l,m},
onde l=0,1,2,\dots e m=-l,\dots,+l.
Significado: \ket{l,m} são estados com momento angular total bem definido ( \hbar^2 l(l+1)) e componente z bem definida ( \hbar m). Essas equações mostram a quantização do momento angular.
(Observação rápida e útil: há também operadores como o operador de posição \hat x com autovalor x, e o operador de paridade \hat \Pi com autovalores \pm 1, etc.)

Passo 4

Agora vamos verificar a função \Psi(x,t). Primeiro: normalização — determinar A.
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
Como |e^{-iEt/\hbar}|^2=1 e \Psi é zero fora do intervalo [-a/2,a/2], obtemos
\int_{-a/2}^{a/2} |A|^2 \operatorname{sen}^2\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
Calculo da integral (passo a passo). Use a identidade
\operatorname{sen}^2 u = \dfrac{1-\cos(2u)}{2}.
Então
\int_{-a/2}^{a/2} \operatorname{sen}^2\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = \int_{-a/2}^{a/2} \dfrac{1-\cos\!\left(\dfrac{4\pi x}{a}\right)}{2}\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{-a/2}^{a/2} \dfrac{1}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot a = \dfrac{a}{2},
e
\int_{-a/2}^{a/2} \dfrac{-\cos\!\left(\dfrac{4\pi x}{a}\right)}{2}\,dx = -\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{a}{4\pi}\sin\!\left(\dfrac{4\pi x}{a}\right)\right]_{-a/2}^{a/2}.
Avaliação da seno: \sin\!\left(\dfrac{4\pi}{a}\cdot \dfrac{a}{2}\right)=\sin(2\pi)=0 e igual para -a/2. Logo essa parte é zero. Portanto
\int_{-a/2}^{a/2} \operatorname{sen}^2\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\,dx = \dfrac{a}{2}.
Assim a normalização dá
|A|^2 \cdot \dfrac{a}{2} = 1 \qquad\Rightarrow\qquad |A|^2 = \dfrac{2}{a}.
Escolhendo a fase conveniente, podemos tomar
A = \sqrt{\dfrac{2}{a}}.

Passo 5

Agora mostro que essa função é um autovetor do Hamiltoniano (no interior do poço), e encontro E.
Dentro do poço ( -a/2<x<a/2) o potencial do poço infinito é V(x)=0. Considere a parte espacial
\psi(x) = A\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right).
Calcule a segunda derivada em relação a x. Primeiro derivada:
\dfrac{d\psi}{dx} = A\cdot \dfrac{2\pi}{a}\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right).
Segunda derivada:
\dfrac{d^2\psi}{dx^2} = A\cdot \left(\dfrac{2\pi}{a}\right)^2\cdot \left(-\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{2\pi x}{a}\right)\right) = -\left(\dfrac{2\pi}{a}\right)^2 \psi(x).
O operador cinético agindo em \psi
-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi}{dx^2} = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\left[-\left(\dfrac{2\pi}{a}\right)^2\psi(x)\right] = \dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{4\pi^2}{a^2}\right)\psi(x).
Portanto, no interior do poço,
\hat H\psi(x) = \dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{4\pi^2}{a^2}\right)\psi(x).
Isto mostra que \psi(x) é autovetor do Hamiltoniano com autovalor
E=\dfrac{\hbar^2}{2m}\cdot \dfrac{4\pi^2}{a^2} = \dfrac{2\pi^2\hbar^2}{m a^2}.
Ou, escrevendo de forma lembrável, E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m} com k=\dfrac{2\pi}{a}.

Passo 6

Verificação da equação de Schrödinger dependente do tempo. A função completa é \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}. Calcule
\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \psi(x)\cdot \left(-\dfrac{iE}{\hbar}\right)e^{-iEt/\hbar} = -\dfrac{iE}{\hbar}\Psi(x,t).
Multiplicando por i\hbar:
i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = E\Psi(x,t).
Já vimos que \hat H\psi(x)=E\psi(x), logo \hat H\Psi(x,t)=E\Psi(x,t). Portanto
i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat H\Psi,
ou seja, \Psi satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo dentro do poço. Fora do poço \Psi=0 e a condição física do poço infinito (potencial infinito fora) exige \Psi=0 nas regiões externas — portanto a função dada é consistente com o poço infinito e com as condições de contorno \Psi(\pm a/2)=0.

Passo 7

Observações físicas finais e propriedades:
  • Já encontramos a constante de normalização A=\sqrt{2/a}.
  • A energia associada é \displaystyle E=\dfrac{2\pi^2\hbar^2}{m a^2}.
  • A função dada não é um autoestado do operador momento \hat p=-i\hbar d/dx, pois \hat p\psi\propto\cos(2\pi x/a) que não é proporcional a \psi(x). Logo momento não tem valor definido.
  • A função é um autoestado da paridade: \psi(-x)=-\psi(x), então tem autovalor de paridade -1.

Resposta

Três equações de autovalores:
\hat H\psi = E\psi,\qquad \hat H=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+V(x);
\hat p\varphi = p\varphi,\qquad \hat p=-i\hbar\dfrac{d}{dx};
\hat L^2\ket{l,m}=\hbar^2 l(l+1)\ket{l,m},\qquad \hat L_z\ket{l,m}=\hbar m\ket{l,m}.
Verificação da função de onda:
A=\sqrt{\dfrac{2}{a}},\qquad E=\dfrac{2\pi^2\hbar^2}{m a^2},
e \Psi(x,t) está normalizada, satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo e é autovetor do Hamiltoniano do poço infinito (ou seja, é um estado de energia estacionária); não é autovetor do operador momento, e tem paridade -1.

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