1. Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre 0 \leq x<a. Para t=0 a função de onda do sistema é: \psi(x, 0)=C_{1} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2} \operatorname{sen}\left(\frac{2 \pi x}{a}\right), onde C_{1} e C_{2} são constates de normalização.
    (a) Explique que significa essa função de onda.
    (b) Encontre a função de onda para o tempo t.
    (c) Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo t.
  2. Considere uma partícula de massa m confinada dentro de um poço quantico unidimensional e infinito. O poço quântico se encontra definido entre 0 \leq x \leq a. A função de onda da partícula para o tempo t=0 é:
    \psi(x, 0)=A\left[2 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi x}{a}\right]\right.
    (a) Explique o que significa essa função de onda. (b) Normalize \psi(x, 0). (c) Encontre \psi(x, t)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada item pede.
Dados gerais (valem para os dois problemas): a partícula está num poço infinito unidimensional entre 0\le x\le a. As funções senoidais que aparecem no enunciado são combinações de autovetores do poço.
Problema 1 — dados e pedidos:
  • Dado: para t=0
\psi(x,0)=C_{1}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes de normalização (possivelmente complexas).
  • Pede-se:
    (a) explicar o que significa essa função de onda;
    (b) encontrar \psi(x,t) para tempo geral t;
    (c) encontrar o valor médio da energia do sistema para tempo t.
Problema 2 — dados e pedidos:
  • Dado: para t=0
\psi(x,0)=A\left[2\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)\right],
onde A é constante a determinar.
  • Pede-se:
    (a) explicar o que significa essa função de onda;
    (b) normalizar \psi(x,0) (ou seja, encontrar A);
    (c) encontrar \psi(x,t).

Passo 2

Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  1. Autofunções e energias do poço infinito: para o poço entre 0 e a as autofunções normalizadas são
\phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,3,\dots
Explicação: \phi_n(x) satisfaz as condições de contorno \phi_n(0)=\phi_n(a)=0 e está normalizada (vou mostrar a ortonormalidade abaixo). O fator \sqrt{2/a} garante que \int_0^a |\phi_n(x)|^2\,dx=1.
  1. Energias associadas: os autovalores de energia são
E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}},
onde m é a massa da partícula e \hbar é a constante de Planck reduzida. Significado: o estado \phi_n tem energia bem definida E_n.
  1. Ortonormalidade (útil para normalização e projeções):
\int_{0}^{a}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{a}{2}\,\delta_{nm},
onde \delta_{nm}=1 se n=m e 0 caso contrário. Explicação informal: funções \operatorname{sen}(n\pi x/a) com diferentes n são “perpendiculares” no sentido do produto interno, e a integral vale a/2 quando n=m.
  1. Evolução temporal de autostados: um autestado \phi_n(x) evolui no tempo apenas por um fator de fase:
\phi_n(x,t)=\phi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar}.
Assim, uma combinação linear de autostados evolui aplicando essa fase a cada componente.
  1. Valor médio da energia: se a função de onda é uma combinação linear \psi=\sum_n c_n\phi_n com \int|\psi|^2dx=1, então
\langle E\rangle=\int \psi^*(x,t)\,\hat H\,\psi(x,t)\,dx=\sum_n |c_n|^2 E_n,
porque \hat H\phi_n=E_n\phi_n e as \phi_n são ortonormais. Observação importante: as probabilidades |c_n|^2 não dependem do tempo (aparecem só as fases), portanto \langle E\rangle é independente do tempo.

Passo 3

Resolvendo o Problema 1 — interpretação (item (a)).
A função de onda inicial
\psi(x,0)=C_{1}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+C_{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)
é uma superposição linear de dois autostados do poço: o primeiro modo ( n=1) e o segundo modo ( n=2). Explicando em palavras:
  • Cada termo \operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right) representa um estado estacionário com energia E_n.
  • Os coeficientes C_1 e C_2 determinam a “participação” de cada autofunção na combinação. Em particular, se a função de onda está normalizada, as quantidades |C_1|^2 e |C_2|^2 são as probabilidades de, ao medir a energia, encontrar E_1 ou E_2, respectivamente.
  • A presença de dois termos significa que a partícula não tem uma energia bem definida inicialmente; ao medir a energia, obtemos E_1 com probabilidade |C_1|^2 e E_2 com probabilidade |C_2|^2.
Nota prática: usando a ortonormalidade explicada antes, a condição de normalização da \psi implica
\int_0^a |\psi(x,0)|^2 dx = |C_1|^2\frac{a}{2}+|C_2|^2\frac{a}{2}=1,
ou seja
|C_1|^2+|C_2|^2=1.
(Estou assumindo que os senos vieram sem o fator \sqrt{2/a}; por isso aparece \tfrac{a}{2} na integral — mesma conta usada quando expandimos em \phi_n.)

Passo 4

Resolvendo o Problema 1 — evolução temporal (item (b)).
Cada componente \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{n\pi x}{a}\right) corresponde ao autestado \phi_n(x)=\sqrt{2/a}\,\operatorname{sen}(n\pi x/a). Se na expansão a função aparece sem o fator \sqrt{2/a}, os coeficientes C_n estão relacionados aos coeficientes da base normalizada; a evolução temporal, porém, aplica a mesma fase a cada modo.
Aplicando a regra de evolução temporal, para t>0 cada componente ganha um fator e^{-iE_n t/\hbar}. Assim
\psi(x,t)=C_{1}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{1}t/\hbar}+C_{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{2}t/\hbar},
onde
E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}},\qquad E_{2}=\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}=\frac{2\pi^{2}\hbar^{2}}{m a^{2}}.
Comentário didático: cada termo separadamente é um “estado estacionário” (a densidade de probabilidade |\phi_n(x,t)|^2 é independente do tempo). Porém, por ser superposição de dois estados com energias diferentes, a densidade total |\psi(x,t)|^2 pode mostrar oscilações no tempo (interferência entre as fases), com frequência relativa (E_2-E_1)/\hbar.

Passo 5

Resolvendo o Problema 1 — valor médio da energia (item (c)).
Usando a propriedade \hat H\phi_n=E_n\phi_n e a ortonormalidade, para \psi(x,t) da forma dada a esperança de energia é
\langle E\rangle=\int_0^a \psi^*(x,t)\,\hat H\,\psi(x,t)\,dx=\;|C_1|^2 E_1+|C_2|^2 E_2.
Explicação passo a passo:
  • A energia esperada é a média ponderada dos autovalores com pesos |c_n|^2.
  • As probabilidades |C_n|^2 não dependem do tempo (aparecem as fases, mas |e^{-i\theta}|^2=1), logo \langle E\rangle é constante no tempo.
    Substituindo E_1 e E_2:
\langle E\rangle=|C_1|^2\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}+|C_2|^2\frac{4\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}\left(|C_1|^2+4|C_2|^2\right).
Se desejar, usando |C_1|^2+|C_2|^2=1 pode escrever \langle E\rangle apenas em função de uma das probabilidades, mas a forma acima é direta e clara.

Passo 6

Resolvendo o Problema 2 — interpretação (item (a)).
A função inicial
\psi(x,0)=A\left[2\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)\right]
é uma superposição dos autostados com n=1 e n=3. Explicando:
  • O termo com \operatorname{sen}(\pi x/a) é o modo fundamental ( n=1) e aparece com amplitude 2A.
  • O termo com \operatorname{sen}(3\pi x/a) é o terceiro modo ( n=3) e aparece com amplitude A.
  • Se \psi for normalizada, as probabilidades de medir E_1 e E_3 serão proporcionais a |2A|^2 e |A|^2, respectivamente (após levar em conta a normalização das funções seno). Ou seja, a partícula não tem energia bem definida inicialmente.

Passo 7

Resolvendo o Problema 2 — normalização (item (b)).
Vamos impor \int_0^a |\psi(x,0)|^2 dx=1. Calcule o quadrado:
\int_0^a |\psi(x,0)|^2dx=|A|^2\int_0^a\left[4\,\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)+\operatorname{sen}^2\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)+2\cdot2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)\right]dx.
Usando a ortonormalidade (a integral mista é zero porque n=1 e m=3 são diferentes) e a identidade da integral para cada seno:
\int_0^a \operatorname{sen}^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx=\frac{a}{2},
obtemos
\int_0^a |\psi(x,0)|^2dx=|A|^2\left[4\cdot\frac{a}{2}+1\cdot\frac{a}{2}\right]=|A|^2\cdot\frac{5a}{2}.
Impondo normalização \frac{5a}{2}|A|^2=1 segue
|A|^2=\frac{2}{5a}.
Escolhemos a fase global de A arbitrária (não altera probabilidades). Tomando A real e positivo por conveniência,
A=\sqrt{\frac{2}{5a}}.

Passo 8

Resolvendo o Problema 2 — evolução temporal (item (c)).
Aplicando a evolução temporal a cada modo ( n=1 e n=3) temos
\psi(x,t)=A\left[2\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{1}t/\hbar}+\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{3}t/\hbar}\right],
com
E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}},\qquad E_{3}=\frac{9\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}.
Substituindo A=\sqrt{\dfrac{2}{5a}} obtém-se a expressão completa normalizada para \psi(x,t).
Comentário prático: as probabilidades de medir E_1 e E_3 são (usando o resultado da normalização) |2A|^2\cdot\frac{a}{2}=4|A|^2\cdot\frac{a}{2}=4\cdot\frac{1}{5}= \tfrac{4}{5} e |A|^2\cdot\frac{a}{2}=\tfrac{1}{5}. Ou seja, \mathbb{P}(E_1)=\tfrac{4}{5} e \mathbb{P}(E_3)=\tfrac{1}{5}. Essas probabilidades também não dependem do tempo.

Resposta

1(a) A função de onda é uma superposição dos autostados n=1 e n=2; |C_1|^2 e |C_2|^2 são as probabilidades de obter E_1 e E_2 numa medição e satisfazem |C_1|^2+|C_2|^2=1.
1(b) \displaystyle \psi(x,t)=C_{1}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{1}t/\hbar}+C_{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{2}t/\hbar}, com \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}.
1(c) \displaystyle \langle E\rangle=|C_1|^2 E_1+|C_2|^2 E_2=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}\big(|C_1|^2+4|C_2|^2\big) (independente do tempo).
2(a) A função de onda é superposição dos autostados n=1 (amplitude 2A) e n=3 (amplitude A); as probabilidades de medir E_1 e E_3 são proporcionais a |2A|^2 e |A|^2.
2(b) \displaystyle A=\sqrt{\frac{2}{5a}}.
2(c) \displaystyle \psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{5a}}\left[2\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{1}t/\hbar}+\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi x}{a}\right)\,e^{-iE_{3}t/\hbar}\right], com \displaystyle E_{1}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}},\;E_{3}=\frac{9\pi^{2}\hbar^{2}}{2 m a^{2}}.

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