- Uma particula quântica esta confinada num poço de potencial infinito e unidimensional, entre
. Para
a função de onda do sistema é:
, onde
e
são constates de normalização.
(a) Explique que significa essa função de onda.
(b) Encontre a função de onda para o tempo
.
(c) Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo
.
- Considere uma partícula de massa
confinada dentro de um poço quantico unidimensional e infinito. O poço quântico se encontra definido entre
. A função de onda da partícula para o tempo
é:
(a) Explique o que significa essa função de onda. (b) Normalize
. (c) Encontre
(a) Explique que significa essa função de onda.
(b) Encontre a função de onda para o tempo
(c) Encontre o valor médio da energia do sistema para o tempo
(a) Explique o que significa essa função de onda. (b) Normalize
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada item pede.
Dados gerais (valem para os dois problemas): a partícula está num poço infinito unidimensional entre
. As funções senoidais que aparecem no enunciado são combinações de autovetores do poço.
Problema 1 — dados e pedidos:
- Dado: para
onde
e
são constantes de normalização (possivelmente complexas).
- Pede-se:
(a) explicar o que significa essa função de onda;
(b) encontrarpara tempo geral ;
(c) encontrar o valor médio da energia do sistema para tempo.
Problema 2 — dados e pedidos:
- Dado: para
onde
é constante a determinar.
- Pede-se:
(a) explicar o que significa essa função de onda;
(b) normalizar(ou seja, encontrar );
(c) encontrar.
Passo 2
Ferramentas e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Autofunções e energias do poço infinito: para o poço entre
e as autofunções normalizadas são
Explicação:
satisfaz as condições de contorno
e está normalizada (vou mostrar a ortonormalidade abaixo). O fator
garante que
.
- Energias associadas: os autovalores de energia são
onde
é a massa da partícula e
é a constante de Planck reduzida. Significado: o estado
tem energia bem definida
.
- Ortonormalidade (útil para normalização e projeções):
onde
se
e
caso contrário. Explicação informal: funções
com diferentes
são “perpendiculares” no sentido do produto interno, e a integral vale
quando
.
- Evolução temporal de autostados: um autestado
evolui no tempo apenas por um fator de fase:
Assim, uma combinação linear de autostados evolui aplicando essa fase a cada componente.
- Valor médio da energia: se a função de onda é uma combinação linear
com , então
porque
e as
são ortonormais. Observação importante: as probabilidades
não dependem do tempo (aparecem só as fases), portanto
é independente do tempo.
Passo 3
Resolvendo o Problema 1 — interpretação (item (a)).
A função de onda inicial
é uma superposição linear de dois autostados do poço: o primeiro modo (
) e o segundo modo (
). Explicando em palavras:
- Cada termo
representa um estado estacionário com energia . - Os coeficientes
e determinam a “participação” de cada autofunção na combinação. Em particular, se a função de onda está normalizada, as quantidades e são as probabilidades de, ao medir a energia, encontrar ou , respectivamente. - A presença de dois termos significa que a partícula não tem uma energia bem definida inicialmente; ao medir a energia, obtemos
com probabilidade e com probabilidade .
Nota prática: usando a ortonormalidade explicada antes, a condição de normalização da
implica
ou seja
(Estou assumindo que os senos vieram sem o fator
; por isso aparece
na integral — mesma conta usada quando expandimos em
.)
Passo 4
Resolvendo o Problema 1 — evolução temporal (item (b)).
Cada componente
corresponde ao autestado
. Se na expansão a função aparece sem o fator
, os coeficientes
estão relacionados aos coeficientes da base normalizada; a evolução temporal, porém, aplica a mesma fase a cada modo.
Aplicando a regra de evolução temporal, para
cada componente ganha um fator
. Assim
onde
Comentário didático: cada termo separadamente é um “estado estacionário” (a densidade de probabilidade
é independente do tempo). Porém, por ser superposição de dois estados com energias diferentes, a densidade total
pode mostrar oscilações no tempo (interferência entre as fases), com frequência relativa
.
Passo 5
Resolvendo o Problema 1 — valor médio da energia (item (c)).
Usando a propriedade
e a ortonormalidade, para
da forma dada a esperança de energia é
Explicação passo a passo:
- A energia esperada é a média ponderada dos autovalores com pesos
. - As probabilidades
não dependem do tempo (aparecem as fases, mas ), logo é constante no tempo.
Substituindoe :
Se desejar, usando
pode escrever
apenas em função de uma das probabilidades, mas a forma acima é direta e clara.
Passo 6
Resolvendo o Problema 2 — interpretação (item (a)).
A função inicial
é uma superposição dos autostados com
e
. Explicando:
- O termo com
é o modo fundamental ( ) e aparece com amplitude . - O termo com
é o terceiro modo ( ) e aparece com amplitude . - Se
for normalizada, as probabilidades de medir e serão proporcionais a e , respectivamente (após levar em conta a normalização das funções seno). Ou seja, a partícula não tem energia bem definida inicialmente.
Passo 7
Resolvendo o Problema 2 — normalização (item (b)).
Vamos impor
. Calcule o quadrado:
Usando a ortonormalidade (a integral mista é zero porque
e
são diferentes) e a identidade da integral para cada seno:
obtemos
Impondo normalização
segue
Escolhemos a fase global de
arbitrária (não altera probabilidades). Tomando
real e positivo por conveniência,
Passo 8
Resolvendo o Problema 2 — evolução temporal (item (c)).
Aplicando a evolução temporal a cada modo (
e
) temos
com
Substituindo
obtém-se a expressão completa normalizada para
.
Comentário prático: as probabilidades de medir
e
são (usando o resultado da normalização)
e
. Ou seja,
e
. Essas probabilidades também não dependem do tempo.
Resposta
1(a) A função de onda é uma superposição dos autostados
e
;
e
são as probabilidades de obter
e
numa medição e satisfazem
.
1(b) com
.
1(c) (independente do tempo).
1(b)
1(c)
2(a) A função de onda é superposição dos autostados
(amplitude
) e
(amplitude
); as probabilidades de medir
e
são proporcionais a
e
.
2(b) .
2(c) com
.
2(b)
2(c)