Escreva as equações de Maxwell do eletromagnetismo e relacione a equação que inclui ou é equivalente a:
Toda carga colocada no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático se encontra em sua superfície externa.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede duas coisas:
  1. Escrever as quatro equações de Maxwell do eletromagnetismo.
  2. Dizer qual dessas equações “explica” aquela regra de condutor em equilíbrio eletrostático – ou seja, por que toda carga no interior acaba na superfície externa.
Conteúdo: eletrostática e equações de Maxwell.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as equações de Maxwell (em forma diferencial).
  • Entender um pouquinho de fluxo e divergência.
  • Saber que, em equilíbrio estático, o campo elétrico E dentro de um condutor é zero.

Passo 2

Aqui vão as quatro equações de Maxwell na forma diferencial, com um resuminho de cada uma:
  1. Lei de Gauss (campo elétrico)
    nabla!cdot E = rhovarepsilon0
    Isso diz que a “divergência” do campo elétrico num ponto é a densidade de carga ali (ρ) dividida por ε₀.
  2. Lei de Gauss para o magnetismo
    nabla!cdot B = 0
    Não existem “cargas magnéticas” (monopolos), então o fluxo neto de B é zero.
  3. Lei de Faraday
    nablatimes E = -,partial Bpartial t
    Uma variação no tempo do campo magnético cria um campo elétrico rotacional.
  4. Lei de Ampère–Maxwell
    nablatimes B = mu0, J + mu0varepsilon0,partial Epartial t
    Correntes elétricas e variações do campo elétrico geram campo magnético rotacional.

Passo 3

Agora, a regra do condutor em equilíbrio estático: dentro de um condutor em repouso, o campo elétrico E tem que ser zero (senão as cargas se moveriam até se anularem).
Então, dentro do condutor:
E = 0 Longrightarrow nabla!cdot E = 0
Mas pela Lei de Gauss:
nabla!cdot E = rhovarepsilon0
Logo, dentro do condutor rho = 0. Ou seja, não há carga no volume interno – toda carga que você colocar acaba “correndo” para a superfície, porque só ali a densidade ρ pode ser diferente de zero.

Resposta

A equação de Maxwell que inclui (ou é equivalente a) essa propriedade do condutor é a Lei de Gauss para o campo elétrico:
boxednabla!cdot E = rhovarepsilon0
(em forma integral: oint E!cdot d A = Qrm intvarepsilon0)

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