QUESTÃO 05: Seja um cabo constituído por 7 fios de cobre com 1 mm de raio cada fio. Pede-se: determine a resistência CA do cabo por quilômetro e a 100^{\circ} \mathrm{C}, para uma corrente elétrica de frequência 200 kHz .
Dados do cobre: \rho_{C u, 20 \mathrm{C}}=1,7 \times 10^{-8} \Omega m ; \alpha_{C u, 20 \mathrm{C}}=3,9 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mu_{r . C u}=1.

Passo 1

O enunciado pede a resistência AC de um cabo formado por 7 fios de cobre, cada fio com raio r=1\text{ mm}=1\times10^{-3}\text{ m}, à temperatura de 100^\circ\text{C} e frequência f=200\text{ kHz}. Para isso vamos usar (1) a variação da resistividade com a temperatura e (2) o efeito pelicular (skin effect) que aumenta a resistência em alta frequência.

Passo 2

Calculamos primeiro a resistividade do cobre a 100^\circ\text{C} usando
\rho(100^\circ\text{C})=\rho_{20^\circ\text{C}}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde \rho_{20^\circ\text{C}}=1{,}7\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}, \alpha=3{,}9\times10^{-3}\,^\circ\text{C}^{-1} e \Delta T=100-20=80\,^\circ\text{C}.
\rho(100^\circ\text{C})=1{,}7\times10^{-8}\bigl(1+3{,}9\times10^{-3}\times80\bigr) =1{,}7\times10^{-8}\times1{,}312 \approx2{,}23\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}.

Passo 3

A área da seção transversal de cada fio é
A=\pi r^2=\pi\,(1\times10^{-3})^2=\pi\times10^{-6}\,\text{m}^2.
A resistência DC de um fio de 1\text{ km} é
R_{DC,1\,\text{km}} =\frac{\rho(100^\circ\text{C})\,L}{A} =\frac{2{,}23\times10^{-8}\times1000}{\pi\times10^{-6}} \approx7{,}10\;\Omega.

Passo 4

Para a frequência f=200\text{ kHz} o efeito pelicular fica caracterizado pela profundidade de penetração
\delta =\sqrt{\frac{2\,\rho(100^\circ\text{C})}{\omega\,\mu_0}} \quad\text{com}\quad \omega=2\pi f,\;\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{H/m}.
Numericamente,
\omega=2\pi\times200\times10^3\approx1{,}2566\times10^6\;\text{rad/s}, \quad \mu_0=1{,}2566\times10^{-6}\;\text{H/m},
\delta =\sqrt{\frac{2\times2{,}23\times10^{-8}}{1{,}2566\times10^6\times1{,}2566\times10^{-6}}} \approx1{,}68\times10^{-4}\,\text{m}=0{,}168\text{ mm}.

Passo 5

Em alta frequência a corrente circula num “anel” de espessura \delta, de modo que a resistência AC por fio de 1\text{ km} fica aproximadamente
R_{AC,1\,\text{km}} =R_{DC,1\,\text{km}}\;\frac{a}{2\,\delta} \quad\text{onde}\quad a=r=1\times10^{-3}\,\text{m}.
Substituindo valores,
\frac{a}{2\delta}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{2\times1{,}68\times10^{-4}} \approx2{,}98,
R_{AC,1\,\text{km}} \approx7{,}10\;\Omega\times2{,}98 \approx21{,}15\;\Omega.

Passo 6

Como os 7 fios estão em paralelo, a resistência total do cabo por quilômetro é
R_{\text{cabo},1\,\text{km}} =\frac{R_{AC,1\,\text{km}}}{7} \approx\frac{21{,}15}{7} \approx3{,}02\;\Omega\!/\text{km}.

Resposta

A resistência AC do cabo a 100^\circ\text{C} e 200\text{ kHz} é aproximadamente
\boxed{3{,}02\;\Omega\!/\text{km}}.

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