Uma lata de refrigerante deve ser desenhada para conter um volume específico de líquido. O custo de produção da lata, que deve ser minimizado, é dado pela seguinte função:
f(D, h)=pi Dh+pi / 2 D^2
Com as seguintes restrições:
Pi / 4 D^2 h >= 400 3,5 <= D <= 8 8 <= h <= 18
Baseado no problema descrito, responda as seguintes questões justificando o máximo possível suas respostas matematicamente:
d) Verifique se a função objetivo f(D, h) sozinha possui um ponto no qual as condições necessárias e suficientes para um mínimo são atendidas.

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer só olhar a funçăo objetivo
f(D,h)=π D h + (π/2) D²
e ver se, sem olhar pras restriçőes, ela tem algum ponto crítico que seja mesmo um mínimo.
Isso é um exercício de Cálculo de Multivariáveis: a gente vai usar derivadas parciais, definir ∇f, achar candidatos a ponto crítico (condiçőes necessárias) e depois conferir o Hessiano (condiçőes suficientes de mínimo).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relaçăo a D e a h.
Lembra que f(D,h)=πDh + (π/2)D².
∂f/∂D = ∂(πDh)/∂D + ∂((π/2)D²)/∂D
= πh + πD
∂f/∂h = ∂(πDh)/∂h + ∂((π/2)D²)/∂h
= πD + 0
= πD

Passo 3

Condição necessária de ponto crítico:
∇f = (∂f/∂D, ∂f/∂h) = (0,0).
Então a gente resolve o sistema
  1. πh + πD = 0
  2. πD = 0
Da equaçăo (2) vem D=0.
Substituindo em (1): πh + π·0 = 0 ⇒ h = 0.
Ou seja, o único “candidato” seria (D,h)=(0,0).

Passo 4

Mas faz sentido ter D=0 e h=0? A lata năo existe com essas dimensőes, e de qualquer forma no domínio físico D>0 e h>0.
Portanto não temos nenhum ponto crítico interior válido.
Além disso, se quiséssemos checar o Hessiano (segundas derivadas):
H = [ [∂²f/∂D², ∂²f/∂D∂h], [∂²f/∂h∂D, ∂²f/∂h²] ]
= [ [π, π],
[π, 0] ]
Esse Hessiano nem é positivo definido em ponto nenhum do domínio relevante.

Resposta

A função f(D,h) não possui ponto crítico em D>0, h>0 que satisfaça as condições necessárias (∇f=0) e suficientes (Hessian positivo definido) para um mínimo.

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