Escreva as equações das parábolas, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (foco, vértices, eixo, diretriz).
Foco (-2,0) e diretriz r: x-4=0

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo foco é (-2,0) e cuja diretriz é a reta
r:\;x-4=0\quad(\text{ou seja, }x=4).
O conteúdo é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à diretriz. Vamos achar o vértice, o parâmetro p, o eixo de simetria, a equação canônica, a diretriz e o foco (já dado), e esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar o vértice (h,k) deslocamos-nos ao longo da linha perpendicular à diretriz que passa pelo foco, até o ponto médio entre foco e diretriz.
  • A diretriz é vertical ( x=4).
  • O foco está em (-2,0).
  • O ponto médio em x é
h = \frac{x_{\text{foco}} + x_{\text{diretriz}}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1,
e em y fica k=0.
Logo o vértice é
(h,k) = (1,0).

Passo 3

O parâmetro p é a distância do vértice ao foco:
p = \bigl|x_{\text{foco}} - h\bigr| = \bigl|-2 - 1\bigr| = 3.
Como o foco está à esquerda da diretriz, a parábola abre para a esquerda ao longo de uma linha horizontal.

Passo 4

A equação canônica de uma parábola horizontal com vértice (h,k) e que abre para a esquerda é
(y - k)^2 = -4p\,(x - h).
Substituindo h=1, k=0 e p=3, obtemos
(y-0)^2 = -4\cdot3\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y^2 = -12\,(x-1).

Passo 5

Agora listamos todos os elementos:
  • Vértice: (1,0).
  • Foco: (-2,0) (dado).
  • Diretriz: x=4 (dada).
  • Eixo de simetria: reta horizontal que passa pelo foco e pelo vértice, ou seja y=0.
  • Segmento focal ou latus-rectum: passa pelo foco e tem comprimento 4p=12. Como o eixo é horizontal, este segmento é vertical, com extremidades em \bigl(-2,\,0+2p\bigr) = (-2,6) \quad\text{e}\quad \bigl(-2,\,0-2p\bigr) = (-2,-6).

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Marque o vértice em (1,0).
  • Desenhe o foco em (-2,0) e a diretriz como a reta vertical x=4.
  • Trace o eixo y=0.
  • Desenhe a parábola abrindo para a esquerda, passando pelo vértice e cruzando o latus-rectum nos pontos (-2,6) e (-2,-6).

Resposta

Equação:
y^2 = -12\,(x-1).
Elementos:
Vértice (1,0); foco (-2,0); diretriz x=4; eixo de simetria y=0; latus-rectum de comprimento 12 com extremidades em (-2,6) e (-2,-6).

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