Escreva as equações das elipses abaixo, esboçando seus gráficos. Obtenha todos os seus elementos (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos).
Focos (-2,-2) e (2,2) e soma dos raios focais 12 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da elipse cujos focos são (-2,-2) e (2,2) e cuja soma das distâncias a esses focos é 2a=12.
Conteúdo: elipse com eixos rotacionados. Vamos precisar encontrar o centro, o semi-eixo maior a, o semi-eixo menor b, a distância focal c, a excentricidade e, escrever a equação em coordenadas giradas e depois passar para x,y.

Passo 2

Centro C é o ponto médio de \!F_1F_2:
C = \Bigl(\tfrac{-2+2}{2},\tfrac{-2+2}{2}\Bigr) = (0,0).
Distância F_1F_2 = \sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt2.
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c = \frac{F_1F_2}{2} = 2\sqrt2, \qquad a = \frac{12}{2} = 6, \qquad b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt7,
e
e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt2}{6} = \frac{\sqrt2}{3}.

Passo 3

Como os focos estão na reta y=x, giramos as coordenadas em \theta=45^\circ. Definimos
u = \frac{x+y}{\sqrt2}, \quad v = \frac{y - x}{\sqrt2}.
Na base (u,v) a elipse é
\frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^2}{36} + \frac{v^2}{28} = 1.
Voltando a (x,y):
u^2 = \frac{(x+y)^2}{2}, \quad v^2 = \frac{(y-x)^2}{2}
\frac{(x+y)^2}{2\cdot36} + \frac{(y-x)^2}{2\cdot28} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+y)^2}{72} + \frac{(y-x)^2}{56} = 1.

Passo 4

Vértices no eixo maior: C\pm a\,\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr), isto é
V_1 = (3\sqrt2,\,3\sqrt2), \quad V_2 = (-3\sqrt2,\,-3\sqrt2).

Passo 5

Vértices no eixo menor: C\pm b\,\bigl(-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr), ou seja
W_1 = \bigl(-\sqrt{14},\,\sqrt{14}\bigr), \quad W_2 = \bigl(\sqrt{14},\,-\sqrt{14}\bigr).

Resposta

Equação em (x,y):
\frac{(x+y)^2}{72} \;+\;\frac{(y-x)^2}{56} \;=\;1.
Centro C=(0,0).
Focos F_1=(-2,-2), F_2=(2,2).
Vértices maiores (3\sqrt2,3\sqrt2), (-3\sqrt2,-3\sqrt2).
Vértices menores (-\,\sqrt{14},\sqrt{14}), (\sqrt{14},-\,\sqrt{14}).
Semi-eixos: a=6, b=2\sqrt7;
distância focal c=2\sqrt2;
excentricidade e=\tfrac{\sqrt2}{3}.

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