Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto P_{0}=(1,2,2) e é paralelo aos vetores \vec{u}=(2,1,-1) e \vec{v}=(1,-1,-2). Obtenha outro ponto desse plano.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista limpa e direta):
  • Ponto dado: P_{0}=(1,2,2).
  • Vetores paralelos ao plano: \vec{u}=(2,1,-1) e \vec{v}=(1,-1,-2).
  • Perguntas: (1) escrever as equações paramétricas do plano que passa por P_{0} e é paralelo a \vec{u} e \vec{v}; (2) obter outro ponto desse plano (além de P_{0}).

Passo 2

Por que essas direções definem um plano? Preciso garantir que \vec{u} e \vec{v} não sejam múltiplos um do outro (caso fossem, não definiriam um plano, só uma reta). Verifico se são linearmente independentes calculando o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
Calculo coordenada a coordenada usando a fórmula
\vec{u}\times\vec{v}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}).
Substituindo \vec{u}=(2,1,-1) e \vec{v}=(1,-1,-2):
u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2}=1\cdot(-2)-(-1)\cdot(-1)=-2-1=-3,
u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}=(-1)\cdot1-2\cdot(-2)=-1+4=3,
u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-2-1=-3.
Logo
\vec{u}\times\vec{v}=(-3,3,-3),
que não é o vetor nulo. Portanto \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes e realmente determinam um plano (nice!).

Passo 3

Agora a forma paramétrica padrão de um plano: dado um ponto P_0 e vetores diretores \vec{u} e \vec{v}, qualquer ponto (x,y,z) do plano pode ser escrito como combinação afim
\vec{r}(s,t)=\vec{P_{0}}+s\vec{u}+t\vec{v},
onde s e t são parâmetros reais. Aqui:
  • \vec{r}(s,t) é o vetor posição de um ponto genérico do plano;
  • \vec{P_{0}}=(1,2,2) é o ponto base;
  • s e t variam em \mathbb{R} e indicam quanto se anda nas direções \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Substituo explicitamente os vetores na expressão vetorial:
\vec{r}(s,t)=(1,2,2)+s(2,1,-1)+t(1,-1,-2).
Agora faço a soma componente a componente para obter as equações paramétricas (isto é, as coordenadas x,y,z em função de s e t):
  • Componente x:
x=1+2s+1t.
  • Componente y:
y=2+1s+(-1)t=2+s-t.
  • Componente z:
z=2+(-1)s+(-2)t=2-s-2t.

Passo 5

Interpretação prática para a prova (truque útil): escolher valores simples de s e t gera pontos no plano. Por exemplo:
  • Se s=1 e t=0 então
(x,y,z)=(1+2\cdot1+0,\;2+1-0,\;2-1-0)=(3,3,1).
  • Se s=0 e t=1 então
(x,y,z)=(1+0+1,\;2+0-1,\;2-0-2)=(2,1,0).
Ambos são pontos do plano; qualquer par (s,t) fornece um ponto.

Passo 6

Resumo didático rápido: as equações paramétricas surgem por escrever o vetor posição como ponto base mais combinação linear dos vetores diretores. Escolher parâmetros simples dá rapidamente outros pontos do plano — útil na hora da prova para testar ou para encontrar interseções.

Resposta

\displaystyle x=1+2s+t,\quad y=2+s-t,\quad z=2-s-2t,\; s,t\in\mathbb{R}.
Um outro ponto do plano: (3,3,1).

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