Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto
e é paralelo aos vetores
e
. Obtenha outro ponto desse plano.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista limpa e direta):
- Ponto dado:
. - Vetores paralelos ao plano:
e . - Perguntas: (1) escrever as equações paramétricas do plano que passa por
e é paralelo a e ; (2) obter outro ponto desse plano (além de ).
Passo 2
Por que essas direções definem um plano? Preciso garantir que
e
não sejam múltiplos um do outro (caso fossem, não definiriam um plano, só uma reta). Verifico se são linearmente independentes calculando o produto vetorial
.
Calculo coordenada a coordenada usando a fórmula
Substituindo
e
:
Logo
que não é o vetor nulo. Portanto
e
são linearmente independentes e realmente determinam um plano (nice!).
Passo 3
Agora a forma paramétrica padrão de um plano: dado um ponto
e vetores diretores
e
, qualquer ponto
do plano pode ser escrito como combinação afim
onde
e
são parâmetros reais. Aqui:
-
é o vetor posição de um ponto genérico do plano; -
é o ponto base; -
e variam em e indicam quanto se anda nas direções e .
Passo 4
Substituo explicitamente os vetores na expressão vetorial:
Agora faço a soma componente a componente para obter as equações paramétricas (isto é, as coordenadas
em função de
e
):
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Interpretação prática para a prova (truque útil): escolher valores simples de
e
gera pontos no plano. Por exemplo:
- Se
e então
- Se
e então
Ambos são pontos do plano; qualquer par
fornece um ponto.
Passo 6
Resumo didático rápido: as equações paramétricas surgem por escrever o vetor posição como ponto base mais combinação linear dos vetores diretores. Escolher parâmetros simples dá rapidamente outros pontos do plano — útil na hora da prova para testar ou para encontrar interseções.
Resposta
Um outro ponto do plano: