Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
;
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede:
- Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (intersectam) ou reversas (espaço — não se intersectam e não são paralelas).
- Calcular o ponto de interseção, se existir.
- Calcular o ângulo entre as retas.
As informações fornecidas são exatamente as equações das retas:
-
. -
Passo 2
Transformar cada reta para forma paramétrica (essa forma é a mais prática para comparar direções e testar interseção).
Explicando rápido: uma reta no espaço pode ser escrita como
, onde
é um ponto da reta e
é um vetor diretor. Isso facilita comparar direções e resolver coordenada a coordenada.
Para
: chamo o parâmetro de
. Pela primeira igualdade, ponho
Também
E
é constante. Logo a parametrização é
Portanto ponto de referência
e vetor diretor
.
Passo 3
Para
: chamo o parâmetro de
. Pela igualdade
temos
e
é constante. Assim
Portanto ponto de referência
e vetor diretor
.
Passo 4
Testar se são paralelas ou coincidentes: duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se seus vetores diretores são colineares, isto é,
para algum escalar
.
Aqui
e
.
Se existisse tal que
, então das coordenadas obteríamos
Se existisse
mas então
deveria ser igual a
(a segunda componente de
), o que é falso. Além disso a terceira componente de
é
e de
é
, impossível por escalação. Logo os vetores não são colineares; as retas não são paralelas nem coincidentes.
Passo 5
Testar interseção (concorrência): para existir ponto comum deve haver
Resolver a equação do
dá
Agora ver se esses
e
satisfazem a equação do
:
Enquanto
Claramente
. Portanto não existem
e
que tornem as três coordenadas iguais ao mesmo tempo; as retas NÃO se intersectam.
Conclusão até aqui: não são paralelas/coinicidentes e não se intersectam → são retas reversas (skew).]
Passo 6
Agora calcular o ângulo entre as retas (o ângulo entre direções): o ângulo
entre duas retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores. A fórmula com produto escalar é
Explicando:
. O módulo
.
Aqui
Normas:
Logo
Passo 7
Obter valor numérico do ângulo. Primeiro a aproximação de
:
Então
(Arredondei o ângulo para uma casa decimal; em radianos
.)
Passo 8
Resumo interpretativo e incentivo: as retas são do tipo reversas (skew) — estão em posições diferentes no espaço, não se encontram e nem têm a mesma direção. Isso é exatamente o caso mais comum em exercícios 3D: nem paralelas nem concorrentes. Bom trabalho por seguir até aqui — dá para usar esse procedimento em qualquer par de retas no espaço: parametrizar, comparar diretores, tentar resolver o sistema para interseção, e usar produto escalar para o ângulo.
Resposta
Reversas (não paralelas e não concorrentes).
Não existe ponto de interseção.
Ângulo entre as retas: .
Não existe ponto de interseção.
Ângulo entre as retas: