Determine se as retas abaixo são paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Calcule seu ponto de interseção (se existir), e o ângulo entre elas:
r_{1}: x+1=\frac{y-1}{2}, z=5;
r_{2}: \frac{x-6}{2}=\frac{z-4}{14} ; y=8

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede:
  • Determinar se as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes (intersectam) ou reversas (espaço — não se intersectam e não são paralelas).
  • Calcular o ponto de interseção, se existir.
  • Calcular o ângulo entre as retas.
As informações fornecidas são exatamente as equações das retas:
  • r_{1}: x+1=\dfrac{y-1}{2},\; z=5.
  • r_{2}: \frac{x-6}{2}=\frac{z-4}{14} ;\; y=8

Passo 2

Transformar cada reta para forma paramétrica (essa forma é a mais prática para comparar direções e testar interseção).
Explicando rápido: uma reta no espaço pode ser escrita como \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}, onde \mathbf{p} é um ponto da reta e \mathbf{v} é um vetor diretor. Isso facilita comparar direções e resolver coordenada a coordenada.
Para r_{1}: chamo o parâmetro de t. Pela primeira igualdade, ponho
x+1=t \quad\Rightarrow\quad x=-1+t.
Também \dfrac{y-1}{2}=t\Rightarrow y-1=2t\Rightarrow y=1+2t. E z=5 é constante. Logo a parametrização é
r_{1}:\quad (x,y,z)=(-1,1,5)+t(1,2,0).
Portanto ponto de referência \mathbf{p}_1=(-1,1,5) e vetor diretor \mathbf{v}_1=(1,2,0).

Passo 3

Para r_{2}: chamo o parâmetro de s. Pela igualdade \dfrac{x-6}{2}=\dfrac{z-4}{14}=s temos
x-6=2s\Rightarrow x=6+2s, \qquad z-4=14s\Rightarrow z=4+14s,
e y=8 é constante. Assim
r_{2}:\quad (x,y,z)=(6,8,4)+s(2,0,14).
Portanto ponto de referência \mathbf{p}_2=(6,8,4) e vetor diretor \mathbf{v}_2=(2,0,14).

Passo 4

Testar se são paralelas ou coincidentes: duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se seus vetores diretores são colineares, isto é, \mathbf{v}_1=k\mathbf{v}_2 para algum escalar k.
Aqui \mathbf{v}_1=(1,2,0) e \mathbf{v}_2=(2,0,14).
Se existisse k tal que k(1,2,0)=(2,0,14), então das coordenadas obteríamos
k\cdot1=2\Rightarrow k=2,
mas então k\cdot2=4 deveria ser igual a 0 (a segunda componente de \mathbf{v}_2), o que é falso. Além disso a terceira componente de \mathbf{v}_1 é 0 e de \mathbf{v}_2 é 14, impossível por escalação. Logo os vetores não são colineares; as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 5

Testar interseção (concorrência): para existir ponto comum deve haver t\) e \(s\) tais que as três coordenadas coincidam: \[\begin{cases} -1+t = 6+2s &\text{(igualando }x\text{)}\\[4pt] 1+2t = 8 &\text{(igualando }y\text{)}\\[4pt] 5 = 4+14s &\text{(igualando }z\text{)} \end{cases}
Resolver a equação do y\] dá \[1+2t=8\Rightarrow 2t=7\Rightarrow t=\tfrac{7}{2}.\] Resolver a do \(z
5=4+14s\Rightarrow 14s=1\Rightarrow s=\tfrac{1}{14}.
Agora ver se esses t e s satisfazem a equação do x:
-1+t = -1+\tfrac{7}{2}=\tfrac{5}{2}=2{,}5.
Enquanto
6+2s = 6+2\cdot\tfrac{1}{14}=6+\tfrac{1}{7}=\tfrac{43}{7}\approx6{,}142857.
Claramente \tfrac{5}{2}\neq \tfrac{43}{7}. Portanto não existem t e s que tornem as três coordenadas iguais ao mesmo tempo; as retas NÃO se intersectam.
Conclusão até aqui: não são paralelas/coinicidentes e não se intersectam → são retas reversas (skew).]

Passo 6

Agora calcular o ângulo entre as retas (o ângulo entre direções): o ângulo \theta entre duas retas é o mesmo ângulo entre seus vetores diretores. A fórmula com produto escalar é
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|\cos\theta.
Explicando: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z. O módulo \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.
Aqui
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = (1)(2)+(2)(0)+(0)(14)=2.
Normas:
\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}, \qquad \|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{2^2+0^2+14^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}.
Logo
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|} =\frac{2}{\sqrt{5}\,10\sqrt{2}} =\frac{2}{10\sqrt{10}} =\frac{1}{5\sqrt{10}}.

Passo 7

Obter valor numérico do ângulo. Primeiro a aproximação de \cos\theta:
\frac{1}{5\sqrt{10}}\approx\frac{1}{5\cdot3{,}16227766}\approx0{,}06324555.
Então
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{5\sqrt{10}}\right)\approx 1{,}507\\ \text{rad}\approx 86{,}4^\circ.
(Arredondei o ângulo para uma casa decimal; em radianos \approx1{,}507.)

Passo 8

Resumo interpretativo e incentivo: as retas são do tipo reversas (skew) — estão em posições diferentes no espaço, não se encontram e nem têm a mesma direção. Isso é exatamente o caso mais comum em exercícios 3D: nem paralelas nem concorrentes. Bom trabalho por seguir até aqui — dá para usar esse procedimento em qualquer par de retas no espaço: parametrizar, comparar diretores, tentar resolver o sistema para interseção, e usar produto escalar para o ângulo.

Resposta

Reversas (não paralelas e não concorrentes).
Não existe ponto de interseção.
Ângulo entre as retas: \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{5\sqrt{10}}\right)\approx1{,}507\\ \text{rad}\approx86{,}4^\circ.

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