Escreva equações paramétricas para a reta L que passa pela origem e é ortogonal às retas L_{1}:(x, y, z)=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2} t,-2-2 t, 1+\frac{1}{2} t\right), t \in \mathbb{R} e L_{2}:(x, y, z)=(t,-t,-t), t \in \mathbb{R}. Faça um esboço de L.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever equações paramétricas da reta L que passa pela origem e é ortogonal às retas L_{1} e L_{2}; (2) fazer um esboço de L.
Informações dadas (trechos do enunciado que vamos usar):
L_{1}:\\ (x,y,z)=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}t,\,-2-2t,\,1+\tfrac{1}{2}t\right),\\ t\in\mathbb{R}.
L_{2}:\\ (x,y,z)=(t,\,-t,\,-t),\\ t\in\mathbb{R}.
Observações imediatas que extraí do enunciado (sem resolver ainda): ambos os dados estão em forma paramétrica; cada reta tem um vetor diretor que vem dos coeficientes multiplicando o parâmetro t. A reta L deve passar por (0,0,0) e ter um vetor diretor perpendicular aos vetores diretores de L_{1} e de L_{2}.

Passo 2

Extração dos vetores diretores das retas dadas (é um passo mecânico: os coeficientes que acompanham t formam o vetor diretor).
Do enunciado: o vetor diretor de L_{1} é
v_{1}=\left(\tfrac{3}{2},\,-2,\,\tfrac{1}{2}\right).
O vetor diretor de L_{2} é
v_{2}=(1,\,-1,\,-1).
Explicação didática curta: quando uma reta é dada por (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c), o vetor (a,b,c) é o vetor diretor — ele indica a direção da reta. Aqui identificamos esses vetores direto das expressões.

Passo 3

Ideia do método (explicação conceitual): queremos um vetor d que seja perpendicular a v_{1} e a v_{2}. Em \mathbb{R}^3 um procedimento padrão para obter um vetor perpendicular a dois vetores dados é calcular o produto vetorial (cross product) v_{1}\times v_{2}. O produto vetorial entre dois vetores em \mathbb{R}^3 dá um vetor ortogonal aos dois.
Breve aula sobre produto vetorial: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
o que equivale a calcular as componentes:
a\times b = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Propriedade importante: (a\times b)\cdot a = 0 e (a\times b)\cdot b = 0, ou seja, o resultado é ortogonal a ambos.]

Passo 4

Para evitar frações durante o cálculo, multiplico v_{1} por 2 (isso não muda a direção): defino
v_{1}'=2v_{1}=(3,\,-4,\,1).
Calcular v_{1}'\times v_{2} é mais simples com inteiros. Agora aplico a fórmula do produto vetorial:
v_{1}'\times v_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3 & -4 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo pela primeira linha (explicando cada passo):
  • componente x (associada a \mathbf{i}): (-4)\cdot(-1) - 1\cdot(-1) = 4 + 1 = 5.
  • componente y (associada a \mathbf{j}): 3\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -3 - 1 = -4. Lembre que ao desenvolver fila/coluna a segunda componente troca de sinal, então fica -(-4)=4. (Isso é equivalente a usar a fórmula direta mostrada antes.)
  • componente z (associada a \mathbf{k}): 3\cdot(-1) - (-4)\cdot 1 = -3 + 4 = 1.
Portanto
v_{1}'\times v_{2}=(5,\,4,\,1).
Como v_{1}' é apenas 2v_{1}, o vetor (5,4,1) também é perpendicular a v_{1} e a v_{2}. Podemos escolher como vetor diretor de L o vetor
d=(5,\,4,\,1).]

Passo 5

Verificação (sempre bom checar durante a prova): calculo os produtos escalares para confirmar ortogonalidade.
d\cdot v_{1}'=5\cdot 3 + 4\cdot(-4) + 1\cdot 1 = 15 -16 +1 = 0.
Como v_{1}' é múltiplo de v_{1}, isso garante d\cdot v_{1}=0. E com v_{2}:
d\cdot v_{2}=5\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 5 -4 -1 = 0.
Ambos zero: confirmado que d é ortogonal a v_{1} e a v_{2}.

Passo 6

Escrever as equações paramétricas da reta L. A reta passa pela origem (0,0,0) e tem vetor diretor d=(5,4,1), logo, usando parâmetro s\in\mathbb{R},
(x,y,z)=s(5,4,1).
Em coordenadas paramétricas explícitas:
x=5s,\qquad y=4s,\qquad z=s,\qquad s\in\mathbb{R}.

Passo 7

Como esboçar L (guia passo a passo para desenhar no caderno; não é necessário calcular pontos demais): escolha o ponto da reta correspondente a s=1, que é (5,4,1) — este ponto eu uso para orientar o desenho. No sistema de eixos x,y,z:
  • marque a origem (0,0,0);
  • marque o ponto (5,4,1) (bem mais deslocado em x e y do que em z);
  • trace a reta que passa por esses dois pontos e estenda em ambos os sentidos. Observação geométrica: como a componente z é pequena comparada a x e y, a reta está quase paralela ao plano xy, mas inclinada levemente no sentido positivo de z. No esboço coloque setas nos dois sentidos para indicar que é infinita.

Resposta

(x,y,z)=s(5,4,1),\\ s\in\mathbb{R}.
Esboço: reta passando por (0,0,0) e por (5,4,1); aponta para +x,+y,+z e fica quase paralela ao plano xy (com pequena inclinação positiva em z).

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