Resolva o sistema linear pelos métodos de Gauss-Seidel, partindo de x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T}, com pelo menos 3 algarismos significativos:
\left[\begin{array}{llll} 4 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 4 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Seidel e partindo de x^{(0)}=(0,0,0,0)^{T}, o sistema linear
\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\\[2pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},
com pelo menos três algarismos significativos nas aproximações finais. As informações relevantes dadas são:
  • A matriz dos coeficientes A é a matriz tridiagonal mostrada acima.
  • O vetor lado direito é b=(1,1,1,1)^T.
  • O chute inicial é x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.
  • O método exigido é Gauss–Seidel e queremos a solução aproximada com pelo menos 3 algarismos significativos.]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel (uma “aula rápida”) e as fórmulas de iteração.
  • Ideia: em cada iteração atualizamos coordenada a coordenada usando imediatamente os valores mais recentes. Para um sistema Ax=b com equações escalares a_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j = b_i, isolamos x_i:
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j<i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j>i} a_{ij} x_j^{(k)}\Big),
ou seja, usamos os componentes já atualizados na mesma iteração (índices j<i) e os antigos para j>i.
  • Aplicando isso ao nosso sistema, isolamos cada variável:
\begin{aligned} x_1 &= \frac{1 - x_2}{4},\\[4pt] x_2 &= \frac{1 - x_1 - x_3}{4},\\[4pt] x_3 &= \frac{1 - x_2 - x_4}{4},\\[4pt] x_4 &= \frac{1 - x_3}{4}. \end{aligned}
  • Sobre convergência (importante antes de aplicar): um critério simples suficiente é dominância diagonal. Cada linha tem |a_{ii}| = 4 e soma dos outros módulos na linha é no máximo 1, logo 4 > 1 — a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas. Portanto o método de Gauss–Seidel converge para a solução verdadeira, qualquer que seja o chute inicial.]

Passo 3

Critério de parada e escolha da tolerância (como garantir 3 algarismos significativos).
  • Queremos pelo menos 3 algarismos significativos nas componentes. Como as componentes da solução valem aproximadamente 0{,}2, uma tolerância absoluta de ordem 5\times 10^{-4} é suficiente para garantir 3 algarismos significativos (por exemplo, 0{,}210 tem 3 algarismos significativos; mudar menos que 0{,}0005 não altera os três primeiros algarismos significativos).
  • Portanto vou parar quando a diferença máxima absoluta entre duas iterações consecutivas for menor que 5\times 10^{-4}, isto é, quando
\max_i |x_i^{(k)} - x_i^{(k-1)}| < 5\times 10^{-4}.
  • Começamos com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T e aplicamos as fórmulas do Passo 2 iterativamente.

Passo 4

Cálculo da iteração k=1 (usar x^{(0)}=(0,0,0,0)^T).
Usando as fórmulas sequencialmente:
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1 - x_2^{(0)}}{4} = \frac{1-0}{4} = 0{,}25,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{1 - x_1^{(1)} - x_3^{(0)}}{4} = \frac{1-0{,}25-0}{4} = 0{,}1875,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \frac{1 - x_2^{(1)} - x_4^{(0)}}{4} = \frac{1-0{,}1875-0}{4} = 0{,}203125,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \frac{1 - x_3^{(1)}}{4} = \frac{1-0{,}203125}{4} = 0{,}19921875. \end{aligned}
Portanto
x^{(1)}=\big(0{,}25,\;0{,}1875,\;0{,}203125,\;0{,}19921875\big)^T.]

Passo 5

Cálculo da iteração k=2.
Atualizamos em sequência usando os valores mais recentes:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{1 - x_2^{(1)}}{4} = \frac{1-0{,}1875}{4} = 0{,}203125,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{1 - x_1^{(2)} - x_3^{(1)}}{4} = \frac{1-0{,}203125-0{,}203125}{4} = 0{,}1484375,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \frac{1 - x_2^{(2)} - x_4^{(1)}}{4} = \frac{1-0{,}1484375-0{,}19921875}{4} = 0{,}1630859375,\\[4pt] x_4^{(2)} &= \frac{1 - x_3^{(2)}}{4} = \frac{1-0{,}1630859375}{4} = 0{,}209228515625. \end{aligned}
Logo
x^{(2)}=\big(0{,}203125,\;0{,}1484375,\;0{,}1630859375,\;0{,}209228515625\big)^T.]

Passo 6

Cálculo da iteração k=3.
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= \frac{1 - x_2^{(2)}}{4} = \frac{1-0{,}1484375}{4} = 0{,}212890625,\\[4pt] x_2^{(3)} &= \frac{1 - x_1^{(3)} - x_3^{(2)}}{4} = \frac{1-0{,}212890625-0{,}1630859375}{4} = 0{,}156005859375,\\[4pt] x_3^{(3)} &= \frac{1 - x_2^{(3)} - x_4^{(2)}}{4} = \frac{1-0{,}156005859375-0{,}209228515625}{4} = 0{,}15869140625,\\[4pt] x_4^{(3)} &= \frac{1 - x_3^{(3)}}{4} = \frac{1-0{,}15869140625}{4} = 0{,}2103271484375. \end{aligned}
Então
x^{(3)}=\big(0{,}212890625,\;0{,}156005859375,\;0{,}15869140625,\;0{,}2103271484375\big)^T.]

Passo 7

Cálculo da iteração k=4.
\begin{aligned} x_1^{(4)} &= \frac{1 - x_2^{(3)}}{4} = \frac{1-0{,}156005859375}{4} = 0{,}21099853515625,\\[4pt] x_2^{(4)} &= \frac{1 - x_1^{(4)} - x_3^{(3)}}{4} = \frac{1-0{,}21099853515625-0{,}15869140625}{4}=0{,}1575775146484375,\\[4pt] x_3^{(4)} &= \frac{1 - x_2^{(4)} - x_4^{(3)}}{4} = \frac{1-0{,}1575775146484375-0{,}2103271484375}{4}=0{,}15802383447851562,\\[4pt] x_4^{(4)} &= \frac{1 - x_3^{(4)}}{4} = \frac{1-0{,}15802383447851562}{4}=0{,}2104940413803711. \end{aligned}
Portanto
x^{(4)}=\big(0{,}21099853515625,\;0{,}1575775146484375,\;0{,}15802383447851562,\;0{,}2104940413803711\big)^T.]

Passo 8

Cálculo da iteração k=5.
\begin{aligned} x_1^{(5)} &= \frac{1 - x_2^{(4)}}{4} = \frac{1-0{,}1575775146484375}{4} = 0{,}21060562133789062,\\[4pt] x_2^{(5)} &= \frac{1 - x_1^{(5)} - x_3^{(4)}}{4} = \frac{1-0{,}21060562133789062-0{,}15802383447851562}{4}=0{,}15784263604589844,\\[4pt] x_3^{(5)} &= \frac{1 - x_2^{(5)} - x_4^{(4)}}{4} = \frac{1-0{,}15784263604589844-0{,}2104940413803711}{4}=0{,}15791583064343262,\\[4pt] x_4^{(5)} &= \frac{1 - x_3^{(5)}}{4} = \frac{1-0{,}15791583064343262}{4}=0{,}21052104233914185. \end{aligned}
Assim
x^{(5)}=\big(0{,}21060562133789062,\;0{,}15784263604589844,\;0{,}15791583064343262,\;0{,}21052104233914185\big)^T.]

Passo 9

Cálculo da iteração k=6 e verificação da tolerância.
\begin{aligned} x_1^{(6)} &= \frac{1 - x_2^{(5)}}{4} = \frac{1-0{,}15784263604589844}{4} = 0{,}2105393409885254,\\[4pt] x_2^{(6)} &= \frac{1 - x_1^{(6)} - x_3^{(5)}}{4} = \frac{1-0{,}2105393409885254-0{,}15791583064343262}{4}=0{,}15788620709201025,\\[4pt] x_3^{(6)} &= \frac{1 - x_2^{(6)} - x_4^{(5)}}{4} = \frac{1-0{,}15788620709201025-0{,}21052104233914185}{4}=0{,}15789818764221198,\\[4pt] x_4^{(6)} &= \frac{1 - x_3^{(6)}}{4} = \frac{1-0{,}15789818764221198}{4}=0{,}210525453089447. \end{aligned}
Logo
x^{(6)}=\big(0{,}2105393409885254,\;0{,}15788620709201025,\;0{,}15789818764221198,\;0{,}210525453089447\big)^T.
Agora calculamos a diferença máxima entre x^{(6)} e x^{(5)}:
\max_i |x_i^{(6)}-x_i^{(5)}| \approx 6{,}62\times 10^{-5} < 5\times 10^{-4}.
Como a diferença máxima é menor que a tolerância escolhida, podemos parar: atingimos a precisão exigida (pelo menos 3 algarismos significativos).]

Passo 10

Interpretação final e arredondamento com pelo menos 3 algarismos significativos.
  • Para garantir pelo menos 3 algarismos significativos, arredondamos cada componente de x^{(6)} mantendo no mínimo 3 algarismos significativos (vou apresentar 6 casas decimais para ficar confortável).
  • Valores finais aproximados (a partir de x^{(6)}):
x_1 \approx 0{,}210526,\quad x_2 \approx 0{,}157895,\quad x_3 \approx 0{,}157895,\quad x_4 \approx 0{,}210526.

Resposta

x_1 = 0{,}210526
x_2 = 0{,}157895
x_3 = 0{,}157895
x_4 = 0{,}210526

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