com pelo menos três algarismos significativos nas aproximações finais. As informações relevantes dadas são:
A matriz dos coeficientes A é a matriz tridiagonal mostrada acima.
O vetor lado direito é b=(1,1,1,1)^T.
O chute inicial é x^{(0)}=(0,0,0,0)^T.
O método exigido é Gauss–Seidel e queremos a solução aproximada com pelo menos 3 algarismos significativos.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (uma “aula rápida”) e as fórmulas de iteração.
Ideia: em cada iteração atualizamos coordenada a coordenada usando imediatamente os valores mais recentes. Para um sistema Ax=b com equações escalares a_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j = b_i, isolamos x_i:
Sobre convergência (importante antes de aplicar): um critério simples suficiente é dominância diagonal. Cada linha tem |a_{ii}| = 4 e soma dos outros módulos na linha é no máximo 1, logo 4 > 1 — a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas. Portanto o método de Gauss–Seidel converge para a solução verdadeira, qualquer que seja o chute inicial.]
Passo 3
Critério de parada e escolha da tolerância (como garantir 3 algarismos significativos).
Queremos pelo menos 3 algarismos significativos nas componentes. Como as componentes da solução valem aproximadamente 0{,}2, uma tolerância absoluta de ordem 5\times 10^{-4} é suficiente para garantir 3 algarismos significativos (por exemplo, 0{,}210 tem 3 algarismos significativos; mudar menos que 0{,}0005 não altera os três primeiros algarismos significativos).
Portanto vou parar quando a diferença máxima absoluta entre duas iterações consecutivas for menor que 5\times 10^{-4}, isto é, quando
Como a diferença máxima é menor que a tolerância escolhida, podemos parar: atingimos a precisão exigida (pelo menos 3 algarismos significativos).]
Passo 10
Interpretação final e arredondamento com pelo menos 3 algarismos significativos.
Para garantir pelo menos 3 algarismos significativos, arredondamos cada componente de x^{(6)} mantendo no mínimo 3 algarismos significativos (vou apresentar 6 casas decimais para ficar confortável).