Exercício 8.1.1. Calcule \iint f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=x e B é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral dupla de f(x,y)=x sobre a região B, onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (2,0).\n
Informações dadas e relevantes: os vértices do triângulo são (0,0), (1,1) e (2,0); a função a integrar é f(x,y)=x. A tarefa é computar \iint_{B} x\,dx\,dy.

Passo 2

Entender a geometria do triângulo e obter as equações das retas que formam B.\n
  • A aresta entre (0,0) e (1,1) tem equação y=x (reta com inclinação 1).\n
  • A aresta entre (1,1) e (2,0) é uma reta de inclinação -1 que passa por (1,1); sua equação é y=2-x. (Podemos verificar: em x=1 y=1, em x=2 y=0).\n
  • A base é a reta entre (0,0) e (2,0), que tem equação y=0.\n
    Logo o triângulo B é a região limitada por y=0, y=x (à esquerda) e y=2-x (à direita), com y variando entre 0 e 1 (pois o ponto mais alto tem y=1).

Passo 3

Escolher o modo de integrar (ordem das integrais) e justificar: vou integrar primeiro em x e depois em y, ou seja, usar a ordem dx\,dy.\n
Motivo: para um dado y fixo (com 0\le y\le 1) o x vai da borda esquerda do triângulo até a borda direita, e essas bordas têm equações simples em função de y: a borda esquerda é x=y (inversa de y=x) e a borda direita é x=2-y (inversa de y=2-x). Portanto, os limites em x ficam simples: x vai de y até 2-y, e y vai de 0 a 1. Isso torna a integral direta de calcular.

Passo 4

Escrever a integral dupla com os limites escolhidos:\n
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=y}^{2-y} x\,dx\right) dy.
Explicação da forma: a integral interna \int_{x=y}^{2-y} x\,dx soma x ao longo da horizontal para um dado y; depois a integral externa \int_{0}^{1} (\cdot)\,dy soma esses valores para todos os y entre 0 e 1.

Passo 5

Calcular a integral interna. Primeiro lembrar a primitiva de x:\n
\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui vamos avaliar a primitiva entre os limites x=y e x=2-y. Assim,
\int_{x=y}^{2-y} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{x=y}^{x=2-y} = \tfrac{1}{2}\big((2-y)^{2} - y^{2}\big).

Passo 6

Simplificar a expressão obtida:\n
\tfrac{1}{2}\big((2-y)^{2} - y^{2}\big) = \tfrac{1}{2}\big(4 -4y + y^{2} - y^{2}\big) = \tfrac{1}{2}(4 -4y) = 2 - 2y.
Portanto a integral interna simplificada é 2-2y.

Passo 7

Agora integrar em y:\n
\int_{0}^{1} (2-2y)\,dy.
Calcule a primitiva de 2-2y: é 2y - y^{2}. Avaliando de 0 a 1 temos
\left[2y - y^{2}\right]_{0}^{1} = (2\cdot 1 - 1^{2}) - (0) = 2 - 1 = 1.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, útil para aprender): integrar na ordem dy\,dx dividindo em dois trechos em x. Para 0\le x\le 1 a altura do triângulo vai de y=0 até y=x; para 1\le x\le 2 a altura vai de y=0 até y=2-x. Assim
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x} x\,dy\right)dx + \int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{2-x} x\,dy\right)dx.
Calcule cada parte:\n
  • Para 0\le x\le 1: \int_{0}^{x} x\,dy = x\cdot (x-0) = x^{2}. Então \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \big[\tfrac{1}{3}x^{3}\big]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}.\n
  • Para 1\le x\le 2: \int_{0}^{2-x} x\,dy = x(2-x) = 2x - x^{2}. Então \int_{1}^{2} (2x - x^{2})\,dx = \big[x^{2} - \tfrac{1}{3}x^{3}\big]_{1}^{2}.\n
    Calcule: em x=2 isso é 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{12-8}{3} = \tfrac{4}{3}; em x=1 é 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}. Diferença \tfrac{4}{3} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}.\n
    Somando as duas partes: \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} = 1. Confirma o resultado obtido antes.

Resposta

1

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