Exercício 8.1.1. Calcule
sendo dados:
e
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
é o triângulo de vértices
,
e
.\n
Informações dadas e relevantes: os vértices do triângulo são ,
e
; a função a integrar é
. A tarefa é computar
.
Informações dadas e relevantes: os vértices do triângulo são
Passo 2
Entender a geometria do triângulo e obter as equações das retas que formam
.\n
- A aresta entre
e tem equação (reta com inclinação ).\n - A aresta entre
e é uma reta de inclinação que passa por ; sua equação é . (Podemos verificar: em dá , em dá ).\n - A base é a reta entre
e , que tem equação .\n
Logo o triânguloé a região limitada por , (à esquerda) e (à direita), com variando entre e (pois o ponto mais alto tem ).
Passo 3
Escolher o modo de integrar (ordem das integrais) e justificar: vou integrar primeiro em
e depois em
, ou seja, usar a ordem
.\n
Motivo: para um dado fixo (com
) o
vai da borda esquerda do triângulo até a borda direita, e essas bordas têm equações simples em função de
: a borda esquerda é
(inversa de
) e a borda direita é
(inversa de
). Portanto, os limites em
ficam simples:
vai de
até
, e
vai de
a
. Isso torna a integral direta de calcular.
Motivo: para um dado
Passo 4
Escrever a integral dupla com os limites escolhidos:\n
Explicação da forma: a integral interna
soma
ao longo da horizontal para um dado
; depois a integral externa
soma esses valores para todos os
entre
e
.
Passo 5
Calcular a integral interna. Primeiro lembrar a primitiva de
:\n
onde
é a constante de integração. Aqui vamos avaliar a primitiva entre os limites
e
. Assim,
Passo 6
Simplificar a expressão obtida:\n
Portanto a integral interna simplificada é
.
Passo 7
Agora integrar em
:\n
Calcule a primitiva de
: é
. Avaliando de
a
temos
Passo 8
Verificação alternativa (opcional, útil para aprender): integrar na ordem
dividindo em dois trechos em
. Para
a altura do triângulo vai de
até
; para
a altura vai de
até
. Assim
Calcule cada parte:\n
- Para
: . Então \n - Para
: . Então .\n
Calcule: emisso é ; em é . Diferença .\n
Somando as duas partes:. Confirma o resultado obtido antes.