Escreva a expressão \frac{1}{z}, com z=2-i, na forma algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma algébrica \frac{1}{z} com z=2 - i. Para isso, vamos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de z.

Passo 2

O conjugado de z=2 - i é 2 + i. Multiplicamos então numerador e denominador de \frac{1}{2 - i} por 2 + i:
\frac{1}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{2 + i}{(2 - i)(2 + i)}.

Passo 3

Calculamos o denominador usando a identidade (a - b)(a + b)=a^2 - b^2, com a=2 e b=i:
(2 - i)(2 + i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5.

Passo 4

Substituindo no quociente, temos
\frac{1}{2 - i} = \frac{2 + i}{5} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i.

Resposta

\frac{2}{5} + \frac{1}{5}i

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