Verifique se \left|z_{1} z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| com os números:
(b) z_{1}=-1+2 i, z_{2}=3+i

Passo 1

O enunciado nos pede verificar a propriedade multiplicativa do módulo de números complexos, ou seja, mostrar que
\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\cdot\left|z_{2}\right|
para
z_{1} = -1 + 2i, \quad z_{2} = 3 + i.
Vamos usar a definição de produto de complexos e a definição de módulo.

Passo 2

Calcular o produto z_{1}z_{2} por distributividade:
z_{1}z_{2} = (-1+2i)(3+i) = -1\cdot3 + (-1)\cdot i + 2i\cdot3 + 2i\cdot i = -3 - i + 6i + 2i^2.
Como i^2 = -1, temos
z_{1}z_{2} = -3 - i + 6i - 2 = -5 + 5i.

Passo 3

Calcular o módulo do produto:
\bigl|z_{1}z_{2}\bigr| = \bigl|-5 + 5i\bigr| = \sqrt{(-5)^{2} + (5)^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular os módulos individuais e em seguida o produto:
\bigl|z_{1}\bigr| = \sqrt{(-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5},
\bigl|z_{2}\bigr| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.
Logo
\bigl|z_{1}\bigr|\;\bigl|z_{2}\bigr| = \sqrt{5}\,\sqrt{10} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.

Passo 5

Comparando os dois resultados, ambos valem 5\sqrt{2}, portanto a igualdade
\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\cdot\left|z_{2}\right|
é verificada.

Resposta

A igualdade vale, pois em ambos os lados obtemos 5\sqrt{2}.

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