Determine se o número z=a+b i, com a, b \in \mathbb{R}, pode satisfazer z^{2} \in \mathbb{R}. Em caso afirmativo, encontre exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para a gente estudar um número complexo \;z = a + b\,i\; com a,b\in\mathbb{R}
e verificar quando o seu quadrado \,z^2 é um número real.
O conteúdo é álgebra de números complexos e vamos usar a expansão de produto e a condição de parte imaginária nula para ter um número real.

Passo 2

Vamos expandir
z^2 = (a + b\,i)^2 \;=\; a^2 + 2ab\,i + (b\,i)^2
e lembrar que (b\,i)^2 = b^2\,i^2 = -b^2. Portanto,
z^2 = \bigl(a^2 - b^2\bigr) \;+\; 2ab\,i.

Passo 3

Para que z^2 seja real, a parte imaginária tem de ser zero. Logo, exigimos
2ab = 0.
Isso significa que ou \;a = 0\; ou \;b = 0\;.

Passo 4

Analisando cada caso:
Se b=0, então z=a+0\,i=a é um número real e
z^2 = a^2\in\mathbb{R}.
Se a=0, então z=0 + b\,i é puramente imaginário e
z^2 = -\,b^2\in\mathbb{R}.
Exemplos concretos são: \;z=3+0\,i\implies z^2=9
e \;z=0+2\,i\implies z^2=-4.

Resposta

Sim. Precisamos ter a\,b=0, ou seja, z é real b=0 ou puramente imaginário a=0.
Exemplos: z=5 z^2=25 e z=3\,i z^2=-9.

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