Escreva as expressões abaixo na forma a+b i.
\frac{(2-i)^{2}}{(3+i)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\frac{(2 - i)^2}{(3 + i)^2}
na forma a + b i.
O conteúdo envolvido é: cálculo de potência de número complexo (binômio de Newton) e divisão de complexos por racionalização (multiplicação pelo conjugado).

Passo 2

Calcular o numerador (2 - i)^2 usando binômio:
(2 - i)^2 = 2^2 - 2\cdot 2\cdot i + i^2 = 4 - 4i + ( -1 ) = 3 - 4i.

Passo 3

Calcular o denominador (3 + i)^2 pelo mesmo procedimento:
(3 + i)^2 = 3^2 + 2\cdot 3\cdot i + i^2 = 9 + 6i + ( -1 ) = 8 + 6i.

Passo 4

Fazer a divisão
\frac{3 - 4i}{8 + 6i}
racionalizando pelo conjugado de 8 + 6i, que é 8 - 6i. Assim, o denominador vira um número real:
\frac{3 - 4i}{8 + 6i} \;\cdot\; \frac{8 - 6i}{8 - 6i} = \frac{(3 - 4i)(8 - 6i)}{8^2 + 6^2} = \frac{24 -18i -32i +24\,i^2}{64 + 36} = \frac{24 -50i -24}{100} = \frac{-50i}{100} = -\tfrac{1}{2}\,i.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\,i
ou seja, na forma a + b i, temos a = 0 e b = -\tfrac12.

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