Escreva as expressōes abaixo na notaçāo de raízes.
5^{2,5}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expressão dada na notação de raízes. A expressão fornecida é:
5^{2,5}
Informações relevantes:
  • O expoente é 2{,}5 (vírgula decimal, no padrão português).
  • O objetivo é reescrever essa potência usando radicais (raízes).

Passo 2

Primeiro convertemos o expoente decimal para uma fração racional, porque a link entre potências e raízes usa expoentes racionais. Para transformar 2{,}5 em fração:
  • 2{,}5 = 2 + 0{,}5.
  • 0{,}5 = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.
    Logo,
2{,}5 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.
Portanto podemos escrever
5^{2,5}=5^{\frac{5}{2}}.

Passo 3

Agora usamos a propriedade fundamental de potências racionais (racionais no sentido de fração): para a>0, inteiros m,n com n>0,
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
Aqui:
  • a é a base (no caso a=5),
  • m é o numerador do expoente ( m=5),
  • n é o denominador do expoente ( n=2), que indica a raiz de ordem 2 (raiz quadrada).
Aplicando à nossa expressão:
5^{\frac{5}{2}}=\sqrt[2]{5^{5}}.
Como raiz de ordem 2 é geralmente escrita sem o índice, podemos também escrever
5^{\frac{5}{2}}=\sqrt{5^{5}}.

Passo 4

Podemos simplificar essa raiz, extraindo potências perfeitas debaixo da raiz. Observe:
5^{5}=5^{4}\cdot5 = (5^{2})^{2}\cdot5.
Então
\sqrt{5^{5}}=\sqrt{5^{4}\cdot5}=\sqrt{5^{4}}\cdot\sqrt{5}.
Como \sqrt{5^{4}}=5^{2}=25, obtemos
\sqrt{5^{5}}=25\sqrt{5}.
Portanto as duas formas equivalentes em notação de raízes (uma explícita e outra simplificada) são apresentadas acima.

Passo 5

Dica rápida para prova: ao ver um expoente decimal, transforme em fração (por exemplo multiplicando numerador e denominador) e aplique a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}. Sempre procure extrair potências perfeitas debaixo da raiz para simplificar.

Resposta

\sqrt{5^{5}}
25\sqrt{5}

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