1. Escreva as expressões matemáticas para impulso de uma força constante e para uma força que varia com o tempo em um gráfico \mathrm{F} \times \mathrm{t}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever a expressão matemática para o impulso quando a força é constante no intervalo de tempo considerado.
  • Escrever a expressão matemática para o impulso quando a força varia com o tempo, representada num gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Há uma força aplicada durante um intervalo de tempo [t_1,t_2].
  • No caso variável, a força é uma função do tempo \vec{F}(t) e pode ser lida como um gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}.
  • O enunciado não fornece números específicos — pede as expressões gerais.

Passo 2

Definição e ideia física usada (sem calcular ainda).
  • Momento linear (quantidade de movimento): a quantidade que descreve o “ímpeto” de um corpo é o vetor \vec{p}. Para uma partícula de massa m e velocidade \vec{v},
\vec{p}=m\vec{v}.
  • Segunda lei de Newton em forma de quantidade de movimento: a força resultante é a taxa de variação do momento linear:
\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}.
Expliquei cada símbolo:
  • \vec{F} é a força resultante (vetor), em newtons \mathrm{(N)}.
  • \vec{p} é o momento linear (vetor), em \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • t é o tempo, em segundos \mathrm{(s)}.

Passo 3

Derivando a expressão geral do impulso a partir da segunda lei de Newton.
  • Integramos a equação \vec{F}=\dfrac{d\vec{p}}{dt} no intervalo de tempo [t_1,t_2]:
\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{d\vec{p}}{dt}\,dt.
  • A integral do lado direito simplifica para a variação do momento:
\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\Delta\vec{p}.
  • Definimos o impulso \vec{J} como essa integral (área sob o gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}):
\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt=\Delta\vec{p}.
Observações didáticas:
  • A integral \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt representa a área algébrica sob a curva \mathrm{F}(t) entre t_1 e t_2. “Algébrica” significa que áreas abaixo do eixo horizontal (força negativa) contam com sinal negativo.
  • Unidades do impulso: \mathrm{N\cdot s} (que equivale a \mathrm{kg\cdot m/s}), compatível com variação de momentum.

Passo 4

Caso da força constante: simplificação da expressão geral.
  • Se a força é constante em direção e intensidade no intervalo [t_1,t_2], escrevemos \vec{F}(t)=\vec{F} (constante).
  • Substituindo na integral:
\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt=\vec{F}\int_{t_1}^{t_2}dt=\vec{F}\,(t_2-t_1).
  • Definindo \Delta t=t_2-t_1, obtemos a forma mais conhecida:
\vec{J}=\vec{F}\,\Delta t.
Interpretação prática e lembrete:
  • Geometricamente, isso é a área de um retângulo de altura F e base \Delta t no gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}.
  • Exemplo numérico rápido: se \vec{F}=(5\\ \mathrm{N})\hat{i} constante por \Delta t=3\\ \mathrm{s}, então \vec{J}=(15\\ \mathrm{N\cdot s})\hat{i}.

Passo 5

Caso da força variável: expressão e como calcular a partir do gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}.
  • Para força que varia com o tempo, a expressão geral já obtida vale:
\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt.
  • Interpretação no gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}: o impulso é a área algébrica sob a curva entre t_1 e t_2. Para calcular:
    • Se houver uma expressão matemática \vec{F}(t) conhecida, calcular a integral definida.
    • Se houver um gráfico sem fórmula, calcular geometricamente (áreas de retângulos, triângulos, trapézios) ou numericamente (Regra do trapézio, somas de Riemann).
  • Exemplo simples (triângulo crescente): se \vec{F}(t) cresce linearmente de 0 em t=0 até \vec{F}_{\max} em t=T, pode-se modelar \vec{F}(t)=\dfrac{\vec{F}_{\max}}{T}t para 0\le t\le T. Então
\vec{J}=\int_{0}^{T}\frac{\vec{F}_{\max}}{T}t\,dt=\frac{\vec{F}_{\max}}{T}\cdot\frac{T^2}{2}=\frac{1}{2}\vec{F}_{\max}T,
que coincide com a área de um triângulo de base T e altura F_{\max}.

Passo 6

Observações finais e dicas práticas para a prova
  • Sempre verificar a direção da força: usar vetores ( \vec{J}, \vec{F}, \Delta\vec{p}). Se a força muda de sentido, a área correspondente terá sinal.
  • Se o enunciado pedir apenas a magnitude e a direção for fixa, pode-se usar as versões escalares:
J=F\Delta t\quad\text{(constante, magnitude)} \qquad\text{e}\qquad J=\int_{t_1}^{t_2}F(t)\,dt\quad\text{(variável, magnitude com sinal se for necessário)}.áá
  • Leitura rápida do gráfico \mathrm{F}\times\mathrm{t}: calcule áreas geométricas (retângulos, triângulos, trapézios) e some-as com sinais.

Resposta

\displaystyle \vec{J}=\vec{F}\,\Delta t
\displaystyle \vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,dt

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