- Escreva as expressões matemáticas para impulso de uma força constante e para uma força que varia com o tempo em um gráfico
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Escrever a expressão matemática para o impulso quando a força é constante no intervalo de tempo considerado.
- Escrever a expressão matemática para o impulso quando a força varia com o tempo, representada num gráfico
.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Há uma força aplicada durante um intervalo de tempo
. - No caso variável, a força é uma função do tempo
e pode ser lida como um gráfico . - O enunciado não fornece números específicos — pede as expressões gerais.
Passo 2
Definição e ideia física usada (sem calcular ainda).
- Momento linear (quantidade de movimento): a quantidade que descreve o “ímpeto” de um corpo é o vetor
. Para uma partícula de massa e velocidade ,
- Segunda lei de Newton em forma de quantidade de movimento: a força resultante é a taxa de variação do momento linear:
Expliquei cada símbolo:
-
é a força resultante (vetor), em newtons . -
é o momento linear (vetor), em . -
é o tempo, em segundos .
Passo 3
Derivando a expressão geral do impulso a partir da segunda lei de Newton.
- Integramos a equação
no intervalo de tempo :
- A integral do lado direito simplifica para a variação do momento:
- Definimos o impulso
como essa integral (área sob o gráfico ):
Observações didáticas:
- A integral
representa a área algébrica sob a curva entre e . “Algébrica” significa que áreas abaixo do eixo horizontal (força negativa) contam com sinal negativo. - Unidades do impulso:
(que equivale a ), compatível com variação de momentum.
Passo 4
Caso da força constante: simplificação da expressão geral.
- Se a força é constante em direção e intensidade no intervalo
, escrevemos (constante). - Substituindo na integral:
- Definindo
, obtemos a forma mais conhecida:
Interpretação prática e lembrete:
- Geometricamente, isso é a área de um retângulo de altura
e base no gráfico . - Exemplo numérico rápido: se
constante por , então .
Passo 5
Caso da força variável: expressão e como calcular a partir do gráfico
.
- Para força que varia com o tempo, a expressão geral já obtida vale:
- Interpretação no gráfico
: o impulso é a área algébrica sob a curva entre e . Para calcular: - Se houver uma expressão matemática
conhecida, calcular a integral definida. - Se houver um gráfico sem fórmula, calcular geometricamente (áreas de retângulos, triângulos, trapézios) ou numericamente (Regra do trapézio, somas de Riemann).
- Se houver uma expressão matemática
- Exemplo simples (triângulo crescente): se
cresce linearmente de em até em , pode-se modelar para . Então
que coincide com a área de um triângulo de base
e altura
.
Passo 6
Observações finais e dicas práticas para a prova
- Sempre verificar a direção da força: usar vetores (
, , ). Se a força muda de sentido, a área correspondente terá sinal. - Se o enunciado pedir apenas a magnitude e a direção for fixa, pode-se usar as versões escalares:
- Leitura rápida do gráfico
: calcule áreas geométricas (retângulos, triângulos, trapézios) e some-as com sinais.