Escreva a forma da decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^4+x+1(x^3-1)(x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede apenas a forma geral da decomposição em frações parciais de
x^4+x+1l(x^3-1r),(x^2-1),
sem calcular os coeficientes numéricos. O conteúdo aqui é decomposição de funções racionais, e vamos precisar fatorar o denominador em fatores lineares (simples e repetidos) e em quadráticos irreduzíveis.

Passo 2

Fatorando cada parte do denominador:
x^3-1 = (x-1),(x^2+x+1),
x^2-1 = (x-1),(x+1)
Logo o denominador completo fica
(x^3-1),(x^2-1) = (x-1)^2(x+1),(x^2+x+1)

Passo 3

Para cada fator do denominador montamos termos na forma de frações parciais:
– O fator (x-1) de multiplicidade 2 gera
dfracAx-1+dfracB(x-1)^2.
– O fator (x+1) simples gera dfracCx+1.
– O fator quadrático irreduzível (x^2+x+1) gera dfracDx+Ex^2+x+1.

Resposta

x^4+x+1(x^3-1)(x^2-1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+1 + Dx+Ex^2+x+1

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