Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores. f(x)=\frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}=\square
Passo 1
O enunciado pede que a função
f(x)=\frac{2}{2x^{2}+3x+1}
seja escrita na forma de frações parciais e que os coeficientes sejam calculados numericamente.
Informações dadas e o que é pedido:
Dado: numerador igual a 2 e denominador igual a 2x^{2}+3x+1.
Pedido: expressar f(x) como soma de frações parciais com coeficientes numéricos (ou seja, achar os valores constantes que aparecem na decomposição).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático 2x^{2}+3x+1. Vou mostrar uma maneira bem direta (método ac / busca de fatores):
Calculo a\cdot c = 2\cdot 1 = 2. Procuro dois inteiros cuja soma dê 3 (o coeficiente de x) e cujo produto seja 2. Esses inteiros são 2 e 1.
Reescrevo o termo do meio usando esses números:
2x^{2}+3x+1 = 2x^{2}+2x+x+1.
Agrupo e fatoro:
2x^{2}+2x+x+1 = 2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1).
Verificação (FOIL): (2x+1)(x+1)=2x^2+2x+x+1=2x^2+3x+1. Está correto.
Passo 3
Como o denominador se fatorou em dois fatores lineares distintos (2x+1) e (x+1), a forma decomposta em frações parciais tem a forma
onde A e B são constantes a determinar. Explico por que constantes: para fatores lineares simples o numerador de cada fração parcial é uma constante (polinômio de grau menor que o do fator).
Passo 4
Multiplico ambos os lados pela expressão (2x+1)(x+1)\) para obter uma identidade polinomial (elimino denominadores):
\[2 = A(x+1)+B(2x+1).
Agora explico e realizo o desenvolvimento e a igualação de coeficientes:
Expando o lado direito:
A(x+1)+B(2x+1)=Ax+A+2Bx+B=(A+2B)x+(A+B).
Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de x e o termo constante devem coincidir com os do lado esquerdo (que é o polinômio constante 2, isto é, coeficiente de x igual a 0 e constante igual a 2). Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A+2B=0,\\[4pt] A+B=2. \end{cases}
Resolvo o sistema passo a passo: da primeira equação A=-2B\]. Substituindo na segunda:
\[-2B+B=2 \quad\Rightarrow\quad -B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-2.\]
- Com \(B=-2, vem A=-2B=-2\cdot(-2)=4.
Portanto A=4 e B=-2.]
Passo 5
Vou mostrar um método alternativo mais rápido (método “cover-up”/avaliar nas raízes) para você ter uma ferramenta prática na prova:
Para encontrar A associe o denominador 2x+1 à raiz x=-\tfrac{1}{2}. Substituo esse x em 2/((x+1)) (que é o numerador original dividido pelo outro fator) e obtenho: