Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{2}{2 x^{2}+3 x+1}= \square

Passo 1

O enunciado pede que a função
f(x)=\frac{2}{2x^{2}+3x+1}
seja escrita na forma de frações parciais e que os coeficientes sejam calculados numericamente.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Dado: numerador igual a 2 e denominador igual a 2x^{2}+3x+1.
  • Pedido: expressar f(x) como soma de frações parciais com coeficientes numéricos (ou seja, achar os valores constantes que aparecem na decomposição).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador quadrático 2x^{2}+3x+1. Vou mostrar uma maneira bem direta (método ac / busca de fatores):
  • Calculo a\cdot c = 2\cdot 1 = 2. Procuro dois inteiros cuja soma dê 3 (o coeficiente de x) e cujo produto seja 2. Esses inteiros são 2 e 1.
  • Reescrevo o termo do meio usando esses números:
2x^{2}+3x+1 = 2x^{2}+2x+x+1.
  • Agrupo e fatoro:
2x^{2}+2x+x+1 = 2x(x+1)+1(x+1)=(2x+1)(x+1).
Verificação (FOIL): (2x+1)(x+1)=2x^2+2x+x+1=2x^2+3x+1. Está correto.

Passo 3

Como o denominador se fatorou em dois fatores lineares distintos (2x+1) e (x+1), a forma decomposta em frações parciais tem a forma
\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. Explico por que constantes: para fatores lineares simples o numerador de cada fração parcial é uma constante (polinômio de grau menor que o do fator).

Passo 4

Multiplico ambos os lados pela expressão (2x+1)(x+1)\) para obter uma identidade polinomial (elimino denominadores): \[2 = A(x+1)+B(2x+1).
Agora explico e realizo o desenvolvimento e a igualação de coeficientes:
  • Expando o lado direito:
A(x+1)+B(2x+1)=Ax+A+2Bx+B=(A+2B)x+(A+B).
  • Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de x e o termo constante devem coincidir com os do lado esquerdo (que é o polinômio constante 2, isto é, coeficiente de x igual a 0 e constante igual a 2). Assim obtemos o sistema:
\begin{cases} A+2B=0,\\[4pt] A+B=2. \end{cases}
  • Resolvo o sistema passo a passo: da primeira equação A=-2B\]. Substituindo na segunda: \[-2B+B=2 \quad\Rightarrow\quad -B=2 \quad\Rightarrow\quad B=-2.\] - Com \(B=-2, vem A=-2B=-2\cdot(-2)=4.
Portanto A=4 e B=-2.]

Passo 5

Vou mostrar um método alternativo mais rápido (método “cover-up”/avaliar nas raízes) para você ter uma ferramenta prática na prova:
  • Para encontrar A associe o denominador 2x+1 à raiz x=-\tfrac{1}{2}. Substituo esse x em 2/((x+1)) (que é o numerador original dividido pelo outro fator) e obtenho:
A=\left.\frac{2}{x+1}\right|_{x=-1/2}=\frac{2}{-1/2+1}=\frac{2}{1/2}=4.
  • Para B uso a raiz x=-1 do fator x+1 e avalio:
B=\left.\frac{2}{2x+1}\right|_{x=-1}=\frac{2}{2(-1)+1}=\frac{2}{-1}=-2.
Os resultados coincidem com os obtidos pelo sistema linear.

Passo 6

Agora escrevo a decomposição com os valores encontrados e faço uma rápida verificação algebrica (recombinando) para garantir que não há erro:
  • Substituindo A=4 e B=-2 na forma parcial:
\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}.
  • Recombinando em comum denominador:
\frac{4(x+1)-2(2x+1)}{(2x+1)(x+1)}=\frac{4x+4-4x-2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{2}{(2x+1)(x+1)}=\frac{2}{2x^{2}+3x+1},
que é exatamente f(x). Verificação ok.

Resposta

f(x)=\frac{2}{2x^{2}+3x+1}=\frac{4}{2x+1}-\frac{2}{x+1}

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