Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a forma decomposta em frações parciais da função
e calcular numericamente os coeficientes dessa decomposição. Informações dadas e observações importantes:
- O numerador é
. - O denominador é o produto de dois fatores lineares distintos:
e . - Devemos obter uma expressão equivalente válida para todos os
com e (esses pontos anulam o denominador).
Passo 2
Por que escolhemos uma forma com dois termos? Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos
, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
e
são constantes a determinar. Aplicando isso ao nosso caso, assumimos que existe
e
tais que
Passo 3
Para encontrar
e
multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador comum
(isso é legítimo porque estamos trabalhando numa identidade de funções racionais, válida para todos os
exceto os pontos proibidos). Obtemos a igualdade de polinômios
Essa é uma identidade em
: os dois polinômios à direita e à esquerda coincidem para todo
.
Passo 4
Método rápido: escolher valores de
que anulem termos para isolar
ou
.
- Tomando
(observe que é permitido na identidade algébrica apesar de ser singular na função original), temos
ou seja
- Tomando
, temos
ou seja
Passo 5
(Facultativo, verificação por igualação de coeficientes) Podemos expandir a expressão à direita:
Como isso deve ser igual a
Resolvendo esse sistema (por exemplo
e
, confirmando os valores obtidos.]
Passo 6
Agora escrevemos a decomposição com os coeficientes numéricos encontrados:
Podemos também verificar rapidamente recombinando: colocando sobre o mesmo denominador e somando os numeradores obtemos
o que confirma que a decomposição está correta.