Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
\quad f(x)=\frac{3 x-1}{(x-3)(x+4)}= \square

Passo 1

O enunciado pede: escrever a forma decomposta em frações parciais da função
f(x)=\frac{3 x-1}{(x-3)(x+4)}
e calcular numericamente os coeficientes dessa decomposição. Informações dadas e observações importantes:
  • O numerador é \,3x-1\,.
  • O denominador é o produto de dois fatores lineares distintos: (x-3) e (x+4).
  • Devemos obter uma expressão equivalente válida para todos os x com x\neq 3 e x\neq -4 (esses pontos anulam o denominador).

Passo 2

Por que escolhemos uma forma com dois termos? Quando o denominador é produto de fatores lineares distintos (x-a)(x-b), a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},
onde A e B são constantes a determinar. Aplicando isso ao nosso caso, assumimos que existe A e B tais que
\frac{3x-1}{(x-3)(x+4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+4}.

Passo 3

Para encontrar A e B multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador comum (x-3)(x+4) (isso é legítimo porque estamos trabalhando numa identidade de funções racionais, válida para todos os x exceto os pontos proibidos). Obtemos a igualdade de polinômios
3x-1 = A(x+4) + B(x-3).
Essa é uma identidade em x: os dois polinômios à direita e à esquerda coincidem para todo x.

Passo 4

Método rápido: escolher valores de x que anulem termos para isolar A ou B.
  • Tomando x=3 (observe que é permitido na identidade algébrica apesar de ser singular na função original), temos
3\cdot 3 -1 = A(3+4) + B(0)
ou seja
8 = 7A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{8}{7}.
  • Tomando x=-4, temos
3(-4)-1 = A(0) + B(-4-3)
ou seja
-13 = -7B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{13}{7}.

Passo 5

(Facultativo, verificação por igualação de coeficientes) Podemos expandir a expressão à direita:
A(x+4)+B(x-3)=(A+B)x+(4A-3B).
Como isso deve ser igual a 3x-1\) para todos os \(x\), os coeficientes correspondentes satisfazem o sistema \[\begin{cases} A+B=3,\\[4pt] 4A-3B=-1. \end{cases}
Resolvendo esse sistema (por exemplo B=3-A\] e substituindo) dá \(A=\dfrac{8}{7} e B=\dfrac{13}{7}, confirmando os valores obtidos.]

Passo 6

Agora escrevemos a decomposição com os coeficientes numéricos encontrados:
\frac{3x-1}{(x-3)(x+4)}=\frac{8/7}{x-3}+\frac{13/7}{x+4}.
Podemos também verificar rapidamente recombinando: colocando sobre o mesmo denominador e somando os numeradores obtemos
\frac{1}{7}\big(8(x+4)+13(x-3)\big)=\frac{1}{7}(21x-7)=3x-1,
o que confirma que a decomposição está correta.

Resposta

\frac{3x-1}{(x-3)(x+4)}=\frac{8}{7(x-3)}+\frac{13}{7(x+4)}

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