Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede que a escrevamos na forma de frações parciais, isto é, encontrar constantes numéricas que satisfaçam uma decomposição do tipo “soma de frações com denominadores lineares”. Informações relevantes que temos:
- O denominador já está fatorado em dois fatores lineares distintos:
e . - O numerador
tem grau , que é menor que o grau do denominador (que é ), então a fração é própria e a decomposição padrão com termos do tipo é aplicável. - A tarefa é encontrar os valores numéricos de
e .
Passo 2
Escolhemos a forma decomposta com constantes desconhecidas
e
. Escrevemos:
Aqui
e
são números reais constantes que ainda não sabemos; o objetivo é determinar esses valores. Essa forma é a mais simples porque cada fator do denominador é linear e distinto.
Passo 3
Para encontrar
e
eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por
. Assim obtemos uma identidade polinomial:
Explicando: ao multiplicar, o termo
fica
multiplicado pelo fator que sobra
, e o termo
fica
multiplicado pelo fator que sobra
. A igualdade vale para todo
(exceto onde o denominador original zera), então os dois polinômios do lado direito e esquerdo são idênticos.
Passo 4
Agora vamos achar
e
. Uma maneira rápida é usar valores de
que anulem cada fator do denominador original (método “cover-up”), porque isso elimina um dos termos à direita e nos dá diretamente a constante desejada.
- Para encontrar
: escolha tal que , ou seja . Substituindo em obtemos
Calculando os números:
Portanto
, que dá
- Para encontrar
: escolha tal que , ou seja . Substituindo:
Calculando:
logo
Passo 5
Agora que achamos
e
, substituímos na forma proposta para obter a decomposição numérica final:
Passo 6
Verificação rápida (boa prática na prova): recombinando os termos do lado direito com o mesmo denominador obtemos
que é exatamente
. Assim a decomposição está correta.