Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{4+x}{(1+2 x)(3-x)}=\square

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}
e pede que a escrevamos na forma de frações parciais, isto é, encontrar constantes numéricas que satisfaçam uma decomposição do tipo “soma de frações com denominadores lineares”. Informações relevantes que temos:
  • O denominador já está fatorado em dois fatores lineares distintos: (1+2x) e (3-x).
  • O numerador (4+x) tem grau 1, que é menor que o grau do denominador (que é 2), então a fração é própria e a decomposição padrão com termos do tipo \dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{B}{3-x} é aplicável.
  • A tarefa é encontrar os valores numéricos de A e B.

Passo 2

Escolhemos a forma decomposta com constantes desconhecidas A e B. Escrevemos:
\frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}=\frac{A}{1+2x}+\frac{B}{3-x}.
Aqui A e B são números reais constantes que ainda não sabemos; o objetivo é determinar esses valores. Essa forma é a mais simples porque cada fator do denominador é linear e distinto.

Passo 3

Para encontrar A e B eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por (1+2x)(3-x). Assim obtemos uma identidade polinomial:
4+x = A(3-x) + B(1+2x).
Explicando: ao multiplicar, o termo \dfrac{A}{1+2x} fica A multiplicado pelo fator que sobra (3-x), e o termo \dfrac{B}{3-x} fica B multiplicado pelo fator que sobra (1+2x). A igualdade vale para todo x (exceto onde o denominador original zera), então os dois polinômios do lado direito e esquerdo são idênticos.

Passo 4

Agora vamos achar A e B. Uma maneira rápida é usar valores de x que anulem cada fator do denominador original (método “cover-up”), porque isso elimina um dos termos à direita e nos dá diretamente a constante desejada.
  • Para encontrar A: escolha x tal que 1+2x=0, ou seja x=-\tfrac{1}{2}. Substituindo em \;4+x = A(3-x)+B(1+2x)\; obtemos
4+\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=A\bigl(3-(-\tfrac{1}{2})\bigr)+B\cdot 0.
Calculando os números:
4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2},\qquad 3-(-\tfrac{1}{2})=3+\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}.
Portanto \tfrac{7}{2}=A\cdot \tfrac{7}{2}, que dá
A=1.
  • Para encontrar B: escolha x tal que 3-x=0, ou seja x=3. Substituindo:
4+3 = A\cdot 0 + B\bigl(1+2\cdot 3\bigr).
Calculando:
7 = B(1+6)=7B,
logo
B=1.

Passo 5

Agora que achamos A=1 e B=1, substituímos na forma proposta para obter a decomposição numérica final:
\frac{4+x}{(1+2x)(3-x)}=\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{3-x}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): recombinando os termos do lado direito com o mesmo denominador obtemos
\frac{1}{1+2x}+\frac{1}{3-x}=\frac{(3-x)+(1+2x)}{(1+2x)(3-x)}=\frac{3-x+1+2x}{(1+2x)(3-x)}=\frac{4+x}{(1+2x)(3-x)},
que é exatamente f(x). Assim a decomposição está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1+2x}+\frac{1}{3-x}

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