Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais da função racional e calcular numericamente os coeficientes. A função dada é
Informações relevantes que temos:
A tarefa é encontrar constantes (números) que expressem
como soma de frações parciais com denominadores
,
e
.
Passo 2
Quando o denominador tem um fator linear repetido
, a forma geral da decomposição em frações parciais é
onde
,
e
são constantes a determinar. Explicando por que: para um fator linear
elevado à potência
, devemos incluir termos da forma
para
. Aqui
e
.
Passo 3
Igualamos a função original à soma proposta e multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
Isto vale para todo
; portanto os dois polinômios à direita e à esquerda são idênticos coeficiente a coeficiente.
Passo 4
Expandimos o lado direito passo a passo para expressá-lo em potências de
. Primeiro expandimos
:
Multiplicando por
e somando os outros termos:
Distribuindo
:
Agrupando termos semelhantes por potências de
:
Passo 5
Agora igualamos coeficientes dos dois polinômios. A expressão à esquerda é
Resolvemos esse sistema em ordem simples:
Da primeira equação já vem
Substituindo
e
na terceira equação:
Passo 6
Encontramos os coeficientes numéricos:
Portanto a decomposição em frações parciais é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): recompondo as frações com o mesmo denominador
,
Somando os numeradores:
que é exatamente o numerador original. Então a decomposição está correta.