Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{2 x^{2}+3 x+3}{(x+1)^{3}}= \square

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais da função racional e calcular numericamente os coeficientes. A função dada é
f(x)=\frac{2 x^{2}+3 x+3}{(x+1)^{3}}.
Informações relevantes que temos:
\text{numerador: }2 x^{2}+3 x+3, \qquad \text{denominador: }(x+1)^{3}.
A tarefa é encontrar constantes (números) que expressem f(x) como soma de frações parciais com denominadores (x+1), (x+1)^{2} e (x+1)^{3}.

Passo 2

Quando o denominador tem um fator linear repetido (x+1)^{3}, a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x+1)^{3}},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explicando por que: para um fator linear (x-a) elevado à potência n, devemos incluir termos da forma \dfrac{\text{constante}}{(x-a)^{k}} para k=1,2,\dots,n. Aqui a=-1 e n=3.

Passo 3

Igualamos a função original à soma proposta e multiplicamos ambos os lados por (x+1)^{3} para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
2 x^{2}+3 x+3 = A(x+1)^{2} + B(x+1) + C.
Isto vale para todo x; portanto os dois polinômios à direita e à esquerda são idênticos coeficiente a coeficiente.

Passo 4

Expandimos o lado direito passo a passo para expressá-lo em potências de x. Primeiro expandimos (x+1)^{2}:
(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1.
Multiplicando por A e somando os outros termos:
A(x+1)^{2} + B(x+1) + C = A(x^{2}+2x+1) + Bx + B + C.
Distribuindo A:
= A x^{2} + 2A x + A + B x + B + C.
Agrupando termos semelhantes por potências de x:
= A x^{2} + (2A + B)x + (A + B + C).

Passo 5

Agora igualamos coeficientes dos dois polinômios. A expressão à esquerda é 2 x^{2} + 3 x + 3\). Assim, para cada potência de \(x\) temos o sistema: \[\begin{cases} \text{coeficiente de }x^{2}: & A = 2,\\[4pt] \text{coeficiente de }x: & 2A + B = 3,\\[4pt] \text{termo constante: } & A + B + C = 3. \end{cases}
Resolvemos esse sistema em ordem simples:
Da primeira equação já vem
A = 2.
Substituindo A=2\] na segunda equação: \[2\cdot 2 + B = 3 \quad\Rightarrow\quad 4 + B = 3 \quad\Rightarrow\quad B = 3 - 4 = -1.\] Agora substituímos \(A=2 e B=-1 na terceira equação:
2 + (-1) + C = 3 \quad\Rightarrow\quad 1 + C = 3 \quad\Rightarrow\quad C = 2.]

Passo 6

Encontramos os coeficientes numéricos:
A = 2,\qquad B = -1,\qquad C = 2.
Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{2}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{3}}.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): recompondo as frações com o mesmo denominador (x+1)^{3},
\frac{2}{x+1} = \frac{2(x+1)^{2}}{(x+1)^{3}},\quad -\frac{1}{(x+1)^{2}} = \frac{-(x+1)}{(x+1)^{3}},\quad \frac{2}{(x+1)^{3}} = \frac{2}{(x+1)^{3}}.
Somando os numeradores:
2(x+1)^{2} - (x+1) + 2 = 2(x^{2}+2x+1) - x -1 +2 = 2x^{2}+4x+2 - x +1 = 2x^{2}+3x+3,
que é exatamente o numerador original. Então a decomposição está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)^{3}}

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