Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{x^{2}+4 x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}= \square

Passo 1

O enunciado pede para escrever a função racional dada na forma de frações parciais e calcular numericamente os coeficientes.
Informações fornecidas:
f(x)=\frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}.
O objetivo é decompor f(x) em soma de frações simples (cada denominador será um dos fatores lineares (x-1),(x+1),(x+3)) e encontrar os valores numéricos dos coeficientes dessa soma.

Passo 2

Por causa dos fatores lineares distintos no denominador, a forma geral da decomposição é
\frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3},
onde A, B e C são constantes a determinar. Vou explicar por que isso é assim: qualquer fração com denominador que se fatoriza em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de frações onde cada termo tem um desses fatores no denominador e uma constante no numerador — é a forma mais simples compatível com graus.

Passo 3

Multiplico ambos os lados da identidade pela expressão (x-1)(x+1)(x+3) para eliminar denominadores; obtém-se uma igualdade de polinômios:
x^{2}+4x+1 = A(x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x+1).
Isto vale para todo x. Uma maneira prática de achar A,B,C é escolher valores de x que anulem dois dos fatores em cada termo, simplificando bastante (método “cover-up” ou substituição direta).

Passo 4

Calculo A escolhendo x=1. Substituindo x=1 na igualdade polinomial:
  • Lado esquerdo: 1^{2}+4\cdot1+1 = 1+4+1 = 6.
  • No lado direito, apenas o termo com A sobrevive, porque os termos com B e C têm fatores (x-1) e portanto se anulam em x=1. Temos (x+1)(x+3) em multiplicação por A, então em x=1 isso vale (1+1)(1+3)=2\cdot4=8.
    Logo
6 = 8A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Fiz as contas passo a passo: 6 dividido por 8 simplifica para 3/4.

Passo 5

Calculo B escolhendo x=-1. Substituindo x=-1:
  • Lado esquerdo: (-1)^{2}+4(-1)+1 = 1-4+1=-2.
  • No lado direito, apenas o termo com B sobrevive; (x-1)(x+3) em x=-1 vale (-1-1)(-1+3)=(-2)\cdot2=-4.
    Portanto
-2 = -4B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}.
Expliquei a origem do sinal negativo: o produto (-2)\cdot2 deu -4.

Passo 6

Calculo C escolhendo x=-3. Substituindo x=-3:
  • Lado esquerdo: (-3)^{2}+4(-3)+1 = 9-12+1=-2.
  • No lado direito, apenas o termo com C sobrevive; (x-1)(x+1) em x=-3 vale (-3-1)(-3+1)=(-4)\cdot(-2)=8.
    Assim
-2 = 8C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}.

Passo 7

Resumo dos coeficientes encontrados:
A=\frac{3}{4},\qquad B=\frac{1}{2},\qquad C=-\frac{1}{4}.
Sempre que encontrar coeficientes por substituição, é bom verificar que eles realmente recombinam para o numerador original — faço uma verificação rápida expandindo o lado direito.

Passo 8

Expando o lado direito usando os valores de A,B,C:
A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1)
= A(x^{2}+4x+3)+B(x^{2}+2x-3)+C(x^{2}-1)
= (A+B+C)x^{2} + (4A+2B)x + (3A-3B-C).
Substituindo A=\frac{3}{4}, B=\frac{1}{2}, C=-\frac{1}{4}:
  • Coeficiente de x^{2}: \frac{3}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1.
  • Coeficiente de x: 4\cdot\frac{3}{4}+2\cdot\frac{1}{2}=3+1=4.
  • Termo constante: 3\cdot\frac{3}{4}-3\cdot\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=1.
    Ficou \,x^{2}+4x+1, que é exatamente o numerador original — verificação OK.

Resposta

\frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}=\frac{3}{4(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4(x+3)}.

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