Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a função racional dada na forma de frações parciais e calcular numericamente os coeficientes.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
O objetivo é decompor
em soma de frações simples (cada denominador será um dos fatores lineares
) e encontrar os valores numéricos dos coeficientes dessa soma.
Passo 2
Por causa dos fatores lineares distintos no denominador, a forma geral da decomposição é
onde
,
e
são constantes a determinar. Vou explicar por que isso é assim: qualquer fração com denominador que se fatoriza em fatores lineares distintos pode ser escrita como soma de frações onde cada termo tem um desses fatores no denominador e uma constante no numerador — é a forma mais simples compatível com graus.
Passo 3
Multiplico ambos os lados da identidade pela expressão
para eliminar denominadores; obtém-se uma igualdade de polinômios:
Isto vale para todo
. Uma maneira prática de achar
é escolher valores de
que anulem dois dos fatores em cada termo, simplificando bastante (método “cover-up” ou substituição direta).
Passo 4
Calculo
escolhendo
. Substituindo
na igualdade polinomial:
- Lado esquerdo:
. - No lado direito, apenas o termo com
sobrevive, porque os termos com e têm fatores e portanto se anulam em . Temos em multiplicação por , então em isso vale .
Logo
Fiz as contas passo a passo:
dividido por
simplifica para
.
Passo 5
Calculo
escolhendo
. Substituindo
:
- Lado esquerdo:
. - No lado direito, apenas o termo com
sobrevive; em vale .
Portanto
Expliquei a origem do sinal negativo: o produto
deu
.
Passo 6
Calculo
escolhendo
. Substituindo
:
- Lado esquerdo:
. - No lado direito, apenas o termo com
sobrevive; em vale .
Assim
Passo 7
Resumo dos coeficientes encontrados:
Sempre que encontrar coeficientes por substituição, é bom verificar que eles realmente recombinam para o numerador original — faço uma verificação rápida expandindo o lado direito.
Passo 8
Expando o lado direito usando os valores de
:
Substituindo
,
,
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Ficou, que é exatamente o numerador original — verificação OK.