Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais da função
e calcular numericamente todos os coeficientes dessa decomposição. \n
Informações dadas: \n
A função racional
com numerador
e denominador
. \n
Preciso apresentar a decomposição em frações parciais com os coeficientes numéricos.
Informações dadas: \n
Passo 2
Primeiro vamos fatorar o denominador para ver o tipo de frações parciais que aparecem. \n
Note que
Note que
Como os fatores são três fatores lineares distintos (
,
,
), a forma geral da decomposição será uma soma de três termos do tipo constante sobre cada fator linear.
Passo 3
Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais (cada termo é uma constante dividida por um fator linear):
onde
,
e
são constantes (coeficientes) a determinar. \n
Explicando o porquê: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, cada um contribui com um termo . Essas constantes serão encontradas impondo que a igualdade acima valha para todo
(identidade de polinômios).
Explicando o porquê: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, cada um contribui com um termo
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da identidade por
para eliminar denominadores e obter uma igualdade entre polinômios:
Isto significa que para todo
os dois lados são iguais; podemos aproveitar isso escolhendo valores convenientes de
(raízes do denominador) para isolar os coeficientes rapidamente.
Passo 5
Achar
escolhendo
: substituindo
na identidade polinomial,
Isso simplifica para
Logo
Passo 6
Achar
escolhendo
: substituindo
,
Os termos com
e
têm fator
e anulam, ficando
Assim
Passo 7
Achar
escolhendo
: substituindo
,
Novamente os termos com
e
anulam por terem fator
, restando
Logo
Passo 8
Verificação rápida (cheia de confiança): podemos recombinar os termos
com os valores encontrados
e, ao colocar sobre o denominador comum
, obteríamos novamente o numerador
. Isso confirma consistência dos coeficientes.