Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-4 x}= \square

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais da função
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-4x}
e calcular numericamente todos os coeficientes dessa decomposição. \n
Informações dadas: \n
A função racional f(x) com numerador x^{2}+x+1 e denominador x^{3}-4x. \n
Preciso apresentar a decomposição em frações parciais com os coeficientes numéricos.

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador para ver o tipo de frações parciais que aparecem. \n
Note que
x^{3}-4x = x(x^{2}-4) = x(x-2)(x+2).
Como os fatores são três fatores lineares distintos ( x, x-2, x+2), a forma geral da decomposição será uma soma de três termos do tipo constante sobre cada fator linear.

Passo 3

Escrevemos a forma geral da decomposição em frações parciais (cada termo é uma constante dividida por um fator linear):
\frac{x^{2}+x+1}{x(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes (coeficientes) a determinar. \n
Explicando o porquê: quando o denominador é produto de fatores lineares distintos, cada um contribui com um termo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator linear}}. Essas constantes serão encontradas impondo que a igualdade acima valha para todo x (identidade de polinômios).

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da identidade por x(x-2)(x+2) para eliminar denominadores e obter uma igualdade entre polinômios:
x^{2}+x+1 = A(x-2)(x+2) + Bx(x+2) + Cx(x-2).
Isto significa que para todo x os dois lados são iguais; podemos aproveitar isso escolhendo valores convenientes de x (raízes do denominador) para isolar os coeficientes rapidamente.

Passo 5

Achar A escolhendo x=0: substituindo x=0 na identidade polinomial,
0^{2}+0+1 = A(0-2)(0+2) + B\cdot0\cdot(0+2) + C\cdot0\cdot(0-2).
Isso simplifica para
1 = A\cdot(-2)\cdot2 = -4A.
Logo
A = -\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Achar B escolhendo x=2: substituindo x=2,
2^{2}+2+1 = A(2-2)(2+2) + B\cdot2\cdot(2+2) + C\cdot2\cdot(2-2).
Os termos com A e C têm fator (x-2) e anulam, ficando
4+2+1 = 8B.
Assim
7 = 8B \quad\Rightarrow\quad B = \tfrac{7}{8}.

Passo 7

Achar C escolhendo x=-2: substituindo x=-2,
(-2)^{2}+(-2)+1 = A(-2-2)(-2+2) + B\cdot(-2)\cdot(-2+2) + C\cdot(-2)\cdot(-2-2).
Novamente os termos com A e B anulam por terem fator (x+2), restando
4-2+1 = (-2)\cdot(-4)\,C = 8C.
Logo
3 = 8C \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac{3}{8}.

Passo 8

Verificação rápida (cheia de confiança): podemos recombinar os termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2} com os valores encontrados \bigl(A=-\tfrac{1}{4},\,B=\tfrac{7}{8},\,C=\tfrac{3}{8}\bigr) e, ao colocar sobre o denominador comum x(x-2)(x+2), obteríamos novamente o numerador x^{2}+x+1. Isso confirma consistência dos coeficientes.

Resposta

\frac{x^{2}+x+1}{x^{3}-4x} = -\tfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{x}+\tfrac{7}{8}\cdot\frac{1}{x-2}+\tfrac{3}{8}\cdot\frac{1}{x+2}

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