Escreva na forma polar:
(f) \frac{1+i}{i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma polar o número complexo
z = \frac{1 + i}{i}.
O conteúdo é conversão de forma algébrica (retangular) para forma polar: vamos precisar encontrar o módulo e o argumento de z.

Passo 2

Primeiro simplificamos \displaystyle \frac{1 + i}{i}. Como \displaystyle \frac{1}{i} = -\,i, temos
z = (1 + i)\cdot(-i) = -\,i - i^2 = -\,i + 1 = 1 - i.

Passo 3

Na forma retangular 1 - i, identificamos
x = 1,\quad y = -1.

Passo 4

Calculamos o módulo r e o argumento \theta:
r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}.
Como (x,y)=(1,-1) está no quarto quadrante, o argumento principal \theta = -\tfrac{\pi}{4} está correto.

Passo 5

Escrevendo na forma polar:
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \sqrt{2}\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr).

Resposta

\sqrt{2}\Bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\Bigr)

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