Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o(s) número(s) complexo(s)
que satisfazem a equação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
, que pode ser um número complexo. - Há uma fração com
no denominador, portanto devemos lembrar que . - O objetivo é achar todos os valores de
(podem ser dois, um ou nenhum) que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por
. Isso é válido porque já notamos que
. Multiplicando:
Passo 3
Distribuindo o
no lado esquerdo obtemos:
Agora colocamos tudo no formato padrão de uma equação quadrática (termos do mesmo lado):
Explicação curta: a forma padrão de uma equação quadrática é
, onde
,
,
são números (aqui
,
,
).
Passo 4
Para resolver a quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ela diz que as raízes de
são dadas por
Aqui identifiquei
,
,
. Vou calcular o discriminante e aplicar a fórmula.
Passo 5
Calculemos o discriminante
:
Comentário didático: quando
é negativo, as raízes da quadrática são complexas (envolvem a unidade imaginária
, onde
). Aqui
indica duas raízes complexas conjugadas.
Passo 6
Calculamos
. Como
,
porque
e
. Lembre que a fórmula usa
para as duas possíveis escolhas de sinal.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula:
Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Verificação rápida (útil para a prova): mostro que qualquer raiz encontrada realmente satisfaz a equação original. Se
é raiz da quadrática
, então
. Agora
Substituindo
no numerador:
Portanto qualquer solução da quadrática satisfaz a equação original — verificação concluída.
Passo 9
Conclusão final: as soluções são os dois números complexos conjugados que calculamos.