Seja A um número complexo, encontre A nas equações abaixo
A+\frac{10}{A}=-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) número(s) complexo(s) A que satisfazem a equação
A+\frac{10}{A}=-2.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é A, que pode ser um número complexo.
  • Há uma fração com A no denominador, portanto devemos lembrar que A\neq 0.
  • O objetivo é achar todos os valores de A (podem ser dois, um ou nenhum) que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: eliminar o denominador multiplicando ambos os lados da equação por A. Isso é válido porque já notamos que A\neq 0. Multiplicando:
A\left(A+\frac{10}{A}\right)=A\cdot(-2).

Passo 3

Distribuindo o A no lado esquerdo obtemos:
A^2 + 10 = -2A.
Agora colocamos tudo no formato padrão de uma equação quadrática (termos do mesmo lado):
A^2 + 2A + 10 = 0.
Explicação curta: a forma padrão de uma equação quadrática é \;aA^2 + bA + c = 0\;, onde a, b, c são números (aqui a=1, b=2, c=10).

Passo 4

Para resolver a quadrática usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ela diz que as raízes de \;aA^2 + bA + c = 0\; são dadas por
A = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui identifiquei a=1, b=2, c=10. Vou calcular o discriminante e aplicar a fórmula.

Passo 5

Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot10 = 4 - 40 = -36.
Comentário didático: quando \Delta é negativo, as raízes da quadrática são complexas (envolvem a unidade imaginária i, onde i^2 = -1). Aqui \Delta = -36 indica duas raízes complexas conjugadas.

Passo 6

Calculamos \sqrt{\Delta}. Como \Delta = -36,
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-36} = 6i,
porque \sqrt{-1}=i e \sqrt{36}=6. Lembre que a fórmula usa \pm para as duas possíveis escolhas de sinal.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula:
A = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm 6i}{2\cdot1} = \frac{-2 \pm 6i}{2}.
Dividindo numerador e denominador por 2:
A = -1 \pm 3i.

Passo 8

Verificação rápida (útil para a prova): mostro que qualquer raiz encontrada realmente satisfaz a equação original. Se A é raiz da quadrática A^2+2A+10=0, então A^2 = -2A - 10. Agora
A + \frac{10}{A} = \frac{A^2 + 10}{A}.
Substituindo A^2 = -2A - 10 no numerador:
\frac{A^2 + 10}{A} = \frac{-2A - 10 + 10}{A} = \frac{-2A}{A} = -2.
Portanto qualquer solução da quadrática satisfaz a equação original — verificação concluída.

Passo 9

Conclusão final: as soluções são os dois números complexos conjugados que calculamos.

Resposta

-1+3i
-1-3i

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