Escreva na forma retangular ou polar ou vice-versa:
2.5 \angle 10^{\circ}-5 \angle 20^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá a expressão em forma polar
2.5\angle 10^\circ - 5\angle 20^\circ
e pede para escrevê‑la em forma retangular ou polar (ou vice‑versa). Vou apresentar o resultado nas duas formas: retangular a + j b e polar R\angle\theta. Listei as informações dadas: os dois fasores têm módulos 2{,}5 e 5 e ângulos 10^\circ e 20^\circ, respectivamente.

Passo 2

Para operar é mais fácil converter cada fasor para a forma retangular. A fórmula para converter polar para retangular é
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\),
onde r é o módulo (norma) e \theta é o ângulo em graus. Aqui usamos j para a unidade imaginária. Vou calcular cada termo separadamente, usando aproximações para seno e cosseno (valores em grau):
\cos 10^\circ \approx 0{,}9848077530 e \sin 10^\circ \approx 0{,}1736481777.
Logo
2{,}5\angle 10^\circ = 2{,}5\big(\cos 10^\circ + j\sin 10^\circ\big) = 2{,}5\cdot 0{,}9848077530 + j\,2{,}5\cdot 0{,}1736481777.
Calculando:
2{,}5\cos 10^\circ \approx 2{,}4620193825, \qquad 2{,}5\sin 10^\circ \approx 0{,}4341204443.
Portanto
2{,}5\angle 10^\circ \approx 2{,}4620193825 + j\,0{,}4341204443.

Passo 3

Agora o segundo fasor. Usamos
\cos 20^\circ \approx 0{,}9396926208 e \sin 20^\circ \approx 0{,}3420201433.
5\angle 20^\circ = 5\big(\cos 20^\circ + j\sin 20^\circ\big) = 5\cdot 0{,}9396926208 + j\,5\cdot 0{,}3420201433.
Calculando:
5\cos 20^\circ \approx 4{,}6984631040, \qquad 5\sin 20^\circ \approx 1{,}7101007165.
Portanto
5\angle 20^\circ \approx 4{,}6984631040 + j\,1{,}7101007165.

Passo 4

Subtraindo os dois fasores na forma retangular (subtrai-se parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária):
(2{,}4620193825 + j\,0{,}4341204443) - (4{,}6984631040 + j\,1{,}7101007165).
Parte real:
2{,}4620193825 - 4{,}6984631040 \approx -2{,}2364437215.
Parte imaginária:
0{,}4341204443 - 1{,}7101007165 \approx -1{,}2759802722.
Logo a forma retangular do resultado é
-2{,}2364437215 - j\,1{,}2759802722.
Para conveniência arredondo um pouco (mantendo precisão prática):
\boxed{-2{,}2364 - j\,1{,}2760}.

Passo 5

Agora converto essa forma retangular para polar. A magnitude R é dada por
R = \sqrt{a^2 + b^2},
onde a é a parte real e b a parte imaginária. Aqui a \approx -2{,}2364437215 e b \approx -1{,}2759802722. Calculando
R = \sqrt{(-2{,}2364437215)^2 + (-1{,}2759802722)^2}.
Uma forma elegante (e que reduz erro de arredondamento) é usar a identidade para a diferença de dois fasores:
R^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1-\theta_2),
com r_1=2{,}5, r_2=5, \theta_1=10^\circ, \theta_2=20^\circ. Assim
R^2 = 2{,}5^2 + 5^2 - 2\cdot 2{,}5\cdot 5\cos(10^\circ-20^\circ) = 6{,}25 + 25 - 25\cos(-10^\circ).
Como \cos(-10^\circ)=\cos 10^\circ,
R^2 = 31{,}25 - 25\cos 10^\circ \approx 31{,}25 - 25\cdot 0{,}9848077530 \approx 6{,}6298061747.
Portanto
R \approx \sqrt{6{,}6298061747} \approx 2{,}574900164.
Arredondando:
R \approx 2{,}5749.

Passo 6

O ângulo \theta do resultado vem de
\theta = \operatorname{atan2}(b, a),
onde \operatorname{atan2} dá o ângulo correto considerando o quadrante (com a real e b imaginário). Aqui a<0 e b<0, então o vetor está no terceiro quadrante. Calculamos a razão
\frac{|b|}{|a|} \approx \frac{1{,}2759802722}{2{,}2364437215} \approx 0{,}570387.
O arco cuja tangente é 0{,}570387 é aproximadamente 29{,}6^\circ. Como ambos a e b são negativos, o ângulo principal fica
\theta \approx -180^\circ + 29{,}6^\circ \approx -150{,}4^\circ.
(Na notação alternativa, isso equivale a 209{,}6^\circ, porque 209{,}6^\circ = -150{,}4^\circ + 360^\circ.)

Resposta

-2{,}2364 - j\,1{,}2760
2{,}5749\angle -150{,}4^\circ

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