Escreva na forma trigonométrica o número:
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva na forma trigonométrica o número complexo
Informações dadas: o numerador é
, e o denominador é
. A tarefa é transformar essa fração em uma forma
onde
é o módulo de
e
é o argumento (ângulo) de
. Não vou resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que pede.
Passo 2
Primeiro simplifico a fração fatorando constantes no numerador e no denominador. Note que posso escrever
e
Portanto
Aqui eu usei a propriedade de frações que permite separar constantes.
Passo 3
Para dividir complexos sem usar calculadora é prático eliminar
do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Multiplico então por
(que vale
) para não alterar o valor:
Explico: o conjugado de
é
e multiplicar por ele transforma o produto em
(número real), porque
.
Passo 4
Calculo o numerador e o denominador do quociente obtido:
e
Substituindo:
Ou seja, essa razão simplifica exatamente para
.
Passo 5
Voltando à expressão de
,
Posso também escrever na forma
com
e
, isto é
Passo 6
Agora calculo o módulo
de
. A fórmula do módulo para
é
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Aqui
e
, então
Portanto o módulo é
.
Passo 7
Agora determino o argumento
de
. Em geral, se
usamos
ou
com atenção ao quadrante. No nosso caso
e
, o que significa que o ponto está sobre o eixo imaginário positivo. Assim o argumento principal é
Explicando: pontos com parte real zero e parte imaginária positiva têm ângulo de
, isto é
radianos.
Passo 8
Por fim escrevo
na forma trigonométrica
com os valores encontrados:
Logo