Resolva as equações abaixo:
\operatorname{sen}(x)+\cos (2 x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\operatorname{sen}(x)+\cos(2x)=1
ou seja: encontrar todos os valores de x (no conjunto dos reais) que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são exatamente essa igualdade trigonométrica e a periodicidade das funções trigonométricas implícita no problema.

Passo 2

Uma forma eficiente de trabalhar com \cos(2x) é usar a identidade do ângulo duplo que expressa \cos(2x) em função de \sin(x). Vou explicar essa identidade passo a passo: partimos da identidade pitagórica
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1.
Sabendo que \cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x), podemos escrever \cos^2(x)=1-\sin^2(x) e substituir:
\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=(1-\sin^2(x))-\sin^2(x)=1-2\sin^2(x).
Portanto a identidade que usaremos é
\cos(2x)=1-2\sin^2(x).
Escolhi essa forma porque a equação original já contém \sin(x); ao substituir teremos uma equação só em \sin(x), que vira uma equação quadrática em \sin(x).

Passo 3

Substituindo \cos(2x)=1-2\sin^2(x) na equação original obtemos
\sin(x)+\bigl(1-2\sin^2(x)\bigr)=1.
Agora simplificamos: no lado esquerdo há um +1 que cancela o 1 do lado direito quando subtrairmos 1 dos dois lados. Então escrevemos:
\sin(x)+1-2\sin^2(x)=1.

Passo 4

Subtraindo 1 de ambos os lados temos
\sin(x)-2\sin^2(x)=0.
Para facilitar, reordeno os termos como uma expressão em \sin(x):
-2\sin^2(x)+\sin(x)=0.
Agora fatoramos \sin(x) em evidência:
\sin(x)\bigl(1-2\sin(x)\bigr)=0.
Uma expressão produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades a resolver.

Passo 5

Primeira possibilidade: \sin(x)=0.
Para explicar por que \sin(x)=0 tem solução x=k\pi, lembre-se do círculo trigonométrico: seno é a ordenada do ponto na circunferência unitária; essa ordenada é zero nos ângulos 0 e \pi (e em todos os coterminais). Como a função seno tem período 2\pi, os zeros ocorrem em todos os múltiplos inteiros de \pi. Portanto
x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Segunda possibilidade: 1-2\sin(x)=0, ou seja 2\sin(x)=1, portanto
\sin(x)=\tfrac{1}{2}.
Para achar todas as soluções de \sin(x)=\tfrac{1}{2} usamos o fato de que \sin atinge \tfrac{1}{2} em dois ângulos no intervalo [0,2\pi): \pi/6 (primeiro quadrante) e 5\pi/6 (segundo quadrante). Como a função seno é periódica de período 2\pi, as soluções gerais são
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui expliquei rapidamente: achamos os ângulos fundamentais onde seno é 1/2 no círculo e somamos qualquer múltiplo inteiro de 2\pi para obter todas as repetições.

Passo 7

É sempre bom checar rapidamente que as famílias encontradas realmente satisfazem a equação original.
  • Para \sin(x)=0: então \cos(2x)=\cos(2k\pi)=1, portanto \sin(x)+\cos(2x)=0+1=1. OK.
  • Para \sin(x)=\tfrac{1}{2}: se x=\pi/6 então \cos(2x)=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} e \sin(x)+\cos(2x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. Se x=5\pi/6 então 2x=5\pi/3 e \cos(5\pi/3)=\cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2} também, logo a soma é 1. Pela periodicidade, qualquer addição de 2k\pi mantém a igualdade. Portanto todas as soluções listadas funcionam.

Resposta

x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\n x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\n x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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