Resolva as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja: encontrar todos os valores de
(no conjunto dos reais) que satisfazem essa igualdade. As informações dadas são exatamente essa igualdade trigonométrica e a periodicidade das funções trigonométricas implícita no problema.
Passo 2
Uma forma eficiente de trabalhar com
é usar a identidade do ângulo duplo que expressa
em função de
. Vou explicar essa identidade passo a passo: partimos da identidade pitagórica
Sabendo que
, podemos escrever
e substituir:
Portanto a identidade que usaremos é
Escolhi essa forma porque a equação original já contém
; ao substituir teremos uma equação só em
, que vira uma equação quadrática em
.
Passo 3
Substituindo
na equação original obtemos
Agora simplificamos: no lado esquerdo há um
que cancela o
do lado direito quando subtrairmos 1 dos dois lados. Então escrevemos:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados temos
Para facilitar, reordeno os termos como uma expressão em
:
Agora fatoramos
em evidência:
Uma expressão produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim temos duas possibilidades a resolver.
Passo 5
Primeira possibilidade:
.
Para explicar por que
tem solução
, lembre-se do círculo trigonométrico: seno é a ordenada do ponto na circunferência unitária; essa ordenada é zero nos ângulos
e
(e em todos os coterminais). Como a função seno tem período
, os zeros ocorrem em todos os múltiplos inteiros de
. Portanto
Passo 6
Segunda possibilidade:
, ou seja
, portanto
Para achar todas as soluções de
usamos o fato de que
atinge
em dois ângulos no intervalo
:
(primeiro quadrante) e
(segundo quadrante). Como a função seno é periódica de período
, as soluções gerais são
Aqui expliquei rapidamente: achamos os ângulos fundamentais onde seno é
no círculo e somamos qualquer múltiplo inteiro de
para obter todas as repetições.
Passo 7
É sempre bom checar rapidamente que as famílias encontradas realmente satisfazem a equação original.
-
Para
: então , portanto . OK. -
Para
: se então e . Se então e também, logo a soma é . Pela periodicidade, qualquer addição de mantém a igualdade. Portanto todas as soluções listadas funcionam.