Resolva a equação (em C):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação em
:
Informações dadas:
- Temos um polinômio cúbico com termo independente
. - Precisamos encontrar todos os valores complexos
que satisfazem a equação. - O enunciado não fornece outras restrições; portanto queremos todas as raízes (reais e complexas).
Passo 2
Primeiro pensamento útil:
é um cubo perfeito, pois
. Isso sugere usar a fatoração da diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é a seguinte (vou explicá-la rapidinho):
Nessa fórmula,
e
são quaisquer números (podem ser complexos). Aplicando com
e
temos uma fatoração direta do polinômio.
Passo 3
Aplicando a diferença de cubos à nossa equação:
Essa fatoração está correta porque desenvolvendo o produto obtemos
. Agora, para achar as raízes, usamos que um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Então resolvemos
e
Passo 4
Resolver a primeira equação é direto:
Essa é uma raiz real e óbvia (é a raiz cúbica real de
).
Passo 5
Agora vamos resolver a quadrática
Usamos a fórmula quadrática (vou lembrar a fórmula e explicar cada parte): para
a solução é
onde
são os coeficientes do polinômio. Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 6
Continuando com a fórmula quadrática:
Agora simplificamos
. Escrevemos
e
. Como
, obtemos
Substituindo,
Portanto as duas raízes complexas são
Passo 7
Vamos fazer uma verificação alternativa e didática (útil para a prova): pensar em raízes cúbicas na forma polar. Toda solução da equação
pode ser obtida escrevendo
em forma polar como
e tomando a raiz cúbica:
Para
temos
(a raiz real). Para
e
usamos a fórmula de Euler
. Com
e
obtemos
Multiplicando por
recuperamos as mesmas duas raízes complexas:
Isso confirma que as raízes encontradas pela fatoração/quadrática estão corretas.
Passo 8
Resumo das raízes e observação final: pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio de grau
tem exatamente
raízes (contando multiplicidade) no conjunto
. Encontramos as três distintas raízes: