2 Escreva a função densidade
em termos da função delta de Dirac para uma distribuição de carga uniforme sobre um plano localizado em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever a função densidade de carga, representada por
, usando a função delta de Dirac para uma distribuição de carga uniforme sobre um plano situado em
. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuição de carga e a função delta de Dirac para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função densidade de carga
. Ela descreve como a carga elétrica está distribuída no espaço. Para uma distribuição contínua,
nos diz quanto de carga há por unidade de volume.
Agora, sobre a função delta de Dirac, ela é uma função matemática que é zero em todos os lugares, exceto em um ponto específico onde ela “explode” para infinito de forma que sua integral ao redor desse ponto seja igual a 1. É muito útil para modelar distribuições de carga pontuais ou em superfícies específicas, como um plano.
Passo 3
No caso de uma carga uniformemente distribuída sobre um plano localizado em
, queremos representar essa distribuição de carga usando a função delta de Dirac. Como a carga está distribuída apenas no plano
e é uniforme nesse plano, podemos expressar a densidade de carga
como um produto da densidade superficial
(carga por unidade de área) e a função delta de Dirac que “aponta” para a posição do plano.
Matematicamente, isso fica assim:
Aqui,
garante que a carga está concentrada exatamente no plano
, e
representa a carga por unidade de área nesse plano.
Resposta
A função densidade de carga é dada por