3 Vimos em sala de aula que o potencial para uma distribuição de carga na posição é
Também vimos a equação de Poisson:
nabla^2 V=-rhovarepsilon0
Demonstre que a equação acima para V(r) obedece à equação de Poisson.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a expressão do potencial elétrico $ V(\vec{r}) $ que envolve uma distribuição de carga $ \rho $ satisfaz a equação de Poisson. Isso está relacionado ao estudo de eletrostática, especificamente como as cargas geram campos elétricos e potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo vetorial, especialmente o operador Laplaciano, e entender como aplicar derivadas nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a expressão do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga:
V(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| dtau^prime
Aqui, $ \vec{r} $ é o ponto onde estamos calculando o potencial, e $ \vec{r}^{\prime} $ é o ponto onde está a carga $ \rho(\vec{r}^{\prime}) $. A função $ \left|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}\right| $ representa a distância entre esses dois pontos.
Passo 3
A equação de Poisson que queremos verificar é:
nabla^2 V = -rhovarepsilon0
O operador $ \nabla^{2} $, chamado de Laplaciano, aplica derivadas segundas em relação às coordenadas espaciais. Nossa tarefa é aplicar o Laplaciano no $ V(\vec{r}) $ dado e ver se chegamos à expressão da equação de Poisson.
Passo 4
Vamos aplicar o operador Laplaciano no potencial $ V(\vec{r}) $:
V(r)
Como a integral é sobre $ \vec{r}^{\prime} $ e estamos derivando em relação a $ \vec{r} $, podemos trocar a ordem da derivada e da integral:
nabla^2 V(r) = nabla^2 ( 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime)|r - r^prime| dtau^prime )
Passo 5
Precisamos saber qual é o Laplaciano de $ \frac{1}{\left|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}\right|} $. Sabemos que:
1|r - r^prime|
Aqui, $ \delta $ é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares excepto quando $ \vec{r} = \vec{r}^{\prime} $, onde ela é infinita de tal forma que sua integral sobre todo o espaço é 1.
Passo 6
Substituindo essa expressão na nossa integral:
nabla^2 V(r) = 14 pi varepsilon0 integral rho(r^prime) ( -4 pi de
Simplificando os termos:
nabla^2 V(r) = -1varepsilon0 integral rho(r^prime) de
Passo 7
A propriedade da função delta de Dirac nos permite resolver a integral facilmente:
integral rho(r^prime) de
Então substituindo de volta:
nabla^2 V(r) = -rho(r)varepsilon0
Resposta
Demonstramos que $ V(\vec{r}) $ satisfaz a equação de Poisson: