Escreva a função
J(z)=z+\frac{1}{z} \quad(z \neq 0)
no formato f(z)=m(r, 0)+i u(r, 0)
Resposta: f(z)=\left(r+\frac{1}{r}\right) \cos \theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right) \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado dá a função
J(z)=z+\frac{1}{z}\quad(z\neq0)
e pede escrevê‑la no formato f(z)=m(r,\theta)+i\,u(r,\theta). Informações relevantes fornecidas:
  • z é um número complexo não nulo ( z\neq0);
  • deve-se expressar J(z) usando as coordenadas polares de z: o módulo r=\lvert z\rvert e o argumento \theta=\arg z;
  • temos que encontrar explicitamente as partes real e imaginária em função de r e \theta.

Passo 2

Lembrete sobre a forma polar (aulas rápidas): qualquer número complexo não nulo pode ser escrito em forma polar como
z = r e^{i\theta},
onde r=\lvert z\rvert>0 e \theta é o argumento de z. Pela fórmula de Euler,
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,
portanto, em termos de seno e cosseno,
z = r(\cos\theta+i\sin\theta).
Aqui: r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.

Passo 3

Calcular o inverso 1/z usando a forma polar é bem simples: se z=r e^{i\theta} então
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}.
Aplicando Euler de novo,
\frac{1}{z}=\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta).
Explicando devagar: trocar o sinal do expoente inverte o ângulo, e o módulo inverte, por isso aparece \frac{1}{r} e e^{-i\theta}.

Passo 4

Agora somamos z e \dfrac{1}{z}. Usando as expressões obtidas:
z+\frac{1}{z}=r(\cos\theta+i\sin\theta)+\frac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta).
Agrupando as partes real e imaginária separadamente:
  • parte real: r\cos\theta+\dfrac{1}{r}\cos\theta=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta;
  • parte imaginária: r\sin\theta-\dfrac{1}{r}\sin\theta=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta.
Colocando tudo junto:
z+\frac{1}{z}=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta.

Passo 5

Interpretação final e condições: a expressão acima dá a parte real m(r,\theta)=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta e a parte imaginária u(r,\theta)=\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta. Lembre que isso vale apenas para r>0 (ou seja, z\neq0).

Resposta

\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta

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