Escreva a função
no formato
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede escrevê‑la no formato
. Informações relevantes fornecidas:
-
é um número complexo não nulo ( ); - deve-se expressar
usando as coordenadas polares de : o módulo e o argumento ; - temos que encontrar explicitamente as partes real e imaginária em função de
e .
Passo 2
Lembrete sobre a forma polar (aulas rápidas): qualquer número complexo não nulo pode ser escrito em forma polar como
onde
e
é o argumento de
. Pela fórmula de Euler,
portanto, em termos de seno e cosseno,
Aqui:
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo.
Passo 3
Calcular o inverso
usando a forma polar é bem simples: se
então
Aplicando Euler de novo,
Explicando devagar: trocar o sinal do expoente inverte o ângulo, e o módulo inverte, por isso aparece
e
.
Passo 4
Agora somamos
e
. Usando as expressões obtidas:
Agrupando as partes real e imaginária separadamente:
- parte real:
; - parte imaginária:
.
Colocando tudo junto:
Passo 5
Interpretação final e condições: a expressão acima dá a parte real
e a parte imaginária
. Lembre que isso vale apenas para
(ou seja,
).